Voici un type de fonction usuelle simplissime. La première à être enseignée, en classe de seconde (ou avant, je ne sais plus...). Graphiquement, elle est représentée par une droite positionnée dans le plan.

N’importe quel point de la droite a pour coordonnées une abscisse (x) et une ordonnée (y). La fonction affine a pour équation RÉDUITE y = ax + b, a et b étant deux nombres réels fixés. On appelle a le coefficient directeur car il indique la pente de la droite. Il DIRIGE. Quant à b, il représente l’ordonnée à l’origine puisque si x = 0, la fonction prend forcément pour valeur b. C’est donc sur cette valeur que la droite coupe l’axe des ordonnées. Bref, b POSITIONNE. Un point et une direction, il n’en faut pas davantage…

On trouve aussi l'équation d'une droite sous sa forme CARTÉSIENNE, soit αx + βy + δ = 0. Remarquons que cette équation peut être multipliée par un nombre quelconque, elle reste juste. Ainsi, une droite peut être définie par une infinité d'équations cartésiennes...

Si b = 0, la fonction est linéaire. Sa droite représentative passe par l’origine du repère et permet de visualiser une bonne vieille règle de trois (NB : en statistiques, on ne s'embarrasse pas de cette subtile distinction. Une régression est dite linéaire même si elle est affine).

Une fonction représentée par une droite horizontale s'exprime sous la forme f(x) = b. Il s'agit d'une fonction constante. Une droite verticale s’écrit grâce à x = un nombre mais ce ne peut pas être la représentation d'une fonction (éventuellement d'une asymptote ou d'une tangente).

Graphiquement, le coefficient a est la distance verticale qui permet de retrouver la droite lorsque on avance x d’une seule unité. Évidemment, a est positif si la droite monte et négatif si elle baisse...

Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1. Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Sur l'illustration ci-dessous, a = -1 (droite verte), a = 0,5 (droite orange) et a = 0 (droite bleue).

Pour savoir en quel point les deux droites obliques sont sécantes, il suffit de résoudre un système de deux équations à deux inconnues. Chaque équation correspond à l’expression d’une fonction affine. Exemple :

Il apparaît que x = 8 / 3 et par conséquent y = 7 / 3. On le vérifie plus ou moins facilement sur le graphique (autre exemple en page familles de droites).

Si le système n’admet pas de solution, c’est que les droites sont parallèles. Les vecteurs qui servent à les tracer sont colinéaires. Idem s’il existe une infinité de solutions, sauf que dans ce cas les droites sont confondues. Les deux fonctions sont donc les mêmes.

Un système d’INÉQUATIONS permet un régionnement du plan.

Algébriquement, un coefficient directeur se détermine grâce aux coordonnées de deux points :

Connaissant deux points d’une droite, on a donc le choix entre deux techniques algébriques pour trouver son expression.

Exemple : quelle est l’expression d’une mystérieuse droite qui passerait par les points de coordonnées (-1 ; 4) et (6 ; -3) ?

Première technique : on pose un système. Les inconnues ne sont pas x et y mais le coefficient a et la constante b. On sait que le premier terme d’un couple est l’abscisse et le deuxième est l’ordonnée.

On résout, par exemple en retirant la première équation de la deuxième. On obtient 7a = -7, donc a = -1. Ce qui nous amène à b = 3. Par conséquent, y = -x + 3.

Deuxième technique : c’est la formule du coefficient directeur qui vient à notre secours.

Il reste à trouver b en remplaçant a sur l’un des deux points connus. Le premier ? D’accord. Donc, 4 = 1 + b, d’où b = 3.

Si la détermination du croisement des droites trouve quelque utilité en gestion, il n’en est pas de même en statistiques où les fonctions affines permettent surtout de résumer une distribution (Cf. la droite de régression linéaire).

NB : dans un espace à trois dimensions, la droite est une intersection entre deux plans (voir exemple en page plan). Son expression prend la forme d'un système de deux équations.

Fonction affine par morceaux

Une telle fonction se présente comme une suite d'affines dont l’expression diffère selon des intervalles.

Exemple : f(x) = |x + 2| + |x + 1| (réalisation sur Sine Qua Non). La fonction f est continue mais ce n'est pas le cas de toutes les affines par morceaux. Voir un autre spécimen en page valeur absolue.

Belle progéniture...

La multiplication de deux fonctions affines se traduit tout simplement par une fonction polynomiale du second degré. Le quotient de deux fonctions affines est une fonction homographique. La composée de deux fonctions affines est elle aussi affine. Si x est un entier naturel, on étudie alors une suite arithmétique.