Asymptotes horizontales, verticales et obliques
Les asymptotes sont enseignées en terminale générale.
Graphiquement, une asymptote à une courbe représentative d'une fonction est une tangente à l’infini. Nous ne verrons ici que les droites asymptotes, enseignées au lycée.
Les asymptotes verticales et horizontales
Graphiquement, une asymptote est une droite vers laquelle tend une courbe représentative d'une fonction sans jamais l’atteindre. On parle donc d'asymptote à une COURBE mais pas à une FONCTION puisque c'est une notion graphique.
Elle est verticale en \(x=a\) si la limite d’une fonction \(f\) au voisinage de \(a\) tend vers l’infini et que \(f(a)\) n’existe pas (voir courbe en page logarithme). La courbe représentative d'une fonction peut rencontrer une infinité d’asymptotes verticales (fonction tangente, par exemple). Dans le plan d’étude d’une fonction, une asymptote verticale apparaît rapidement : dès lors que l'ensemble de définition n’est pas l'ensemble des réels, on cherche si les limites aux bornes de cet ensemble sont infinies.
Une asymptote est horizontale si la limite de la fonction à l’infini est égale à un réel. Voir un exemple en page exponentielle. Il ne peut pas exister plus de deux asymptotes horizontales (une pour chaque signe de l'infini).
Exemple : la fonction inverse n’est pas définie pour \(x=0\) et l’inverse d’un nombre infiniment petit est infiniment grand. Par ailleurs, la limite à \( \pm \infty \) de \(\frac{1}{x}\) tend vers zéro. L'hyperbole représentative de cette fonction admet donc deux asymptotes, l’une verticale et l’autre horizontale (d'équation \(y=0\)).
Ces deux types d’asymptotes apparaissent clairement sur le tableau de variation.
Asymptotes obliques
Lorsqu’une limite à l’infini est infinie, il est possible qu’une asymptote oblique existe. Elle s’écrit sous la forme \(y=ax+b\) puisqu’elle est l'expression d'une droite.
Selon l'expression de la fonction, on se tourne vers l'une des techniques suivantes.
Première technique. Elle suppose que l'on a déjà une petite idée de l'équation de la fonction affine dont la droite représentative serait asymptote. On cherche la limite à l’infini de l'ÉCART entre la courbe et son asymptote candidate. Si celui-ci tend progressivement vers zéro, c’est gagné…
À titre d’exemple, prenons la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 3x + 4 + \frac{5}{{x + 2}}\) et représentée par une courbe \({\mathscr{C}_f}\) :
Il est clair que la droite \((D)\) d’équation \(y=3x+4\) est asymptote à \({\mathscr{C}_f}\) puisqu’à l’infini, l’élément \(\frac{5}{{x + 2}}\) tend vers zéro… On peut d’ailleurs être plus précis : en \( + \infty \), cet élément tend vers \({0^ + }\), donc \(f(x) - (3x + 4) > 0\) et \({\mathscr{C}_f}\) est au-dessus de \((D)\). Et inversement dans les bas-fonds de moins l'infini. Illustration avec une calcultrice TI-83 :
Lorsque l'expression de la fonction est la division d'un polynôme par un autre de degré immédiatement inférieur, on fait apparaître l'équation de l'asymptote grâce à une division de polynômes (celui du numérateur par celui du dénominateur).
Si la limite à l'infini de \(\frac{{f(x)}}{x}\) est le réel \(a\), alors il existe une asymptote oblique de coefficient directeur \(a\). Pour trouver l'ordonnée à l'origine, on retire \(ax\) à la limite de \(f(x)\).
Exercice
Faisons connaissance avec la fonction définie par \(f(x) = \sqrt {{x^2} + 4x + 3} \)
Votre mission, si vous l’acceptez, sera de démontrer que sa courbe représentative \({\mathscr{C}_f}\) admet une asymptote d’équation \(y=x+2\) sur \( + \infty \).
Procédure : il faut d’abord soustraire \(x+2\) de l’expression de \(f(x)\), puis faire le ménage pour obtenir une expression présentable et enfin vérifier que la limite à l’infini est nulle.
Allons-y. Une soustraction comportant une expression sous radical nous incite à utiliser les quantités conjuguées.
\(\frac{{\left[ {\sqrt {{x^2} + 4x + 3} - \left( {x + 2} \right)} \right]\left[ {\sqrt {{x^2} + 4x + 3} + \left( {x + 2} \right)} \right]}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 3} + \left( {x + 2} \right)}}\)
Si l’on travaille le numérateur, on obtient tout simplement -1. Il est également possible d’améliorer l’expression du dénominateur mais ce ne sera pas indispensable pour la suite puisqu’il est clair qu’à plus l’infini, il tend vers plus l’infini. Traduction :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 3} + \left( {x + 2} \right)}}} \right) = 0\)
Conclusion : la droite d’équation \(y=x+2\) est bien asymptote à \({\mathscr{C}_f}\).
Autres types d'asymptotes
Les autres asymptotes ne sont pas au programme du secondaire. En page de courbes asymptotes et branches paraboliques, vous apprendrez qu'une asymptote n'est pas toujours droite et qu'un axe peut indiquer une direction à une courbe sans pour autant être son asymptote.
Asymptotes et statistiques
Ce complément ne figure pas davantage au programme de terminale.
Les statisticiens évoquent souvent les comportements asymptotiques. C'est souvent pour montrer que plus un échantillon est grand, plus un aspect du calcul devient négligeable (estimateur asymptotiquement sans biais...).
Mentionnons aussi le comportement asymptotique des lois de probabilité. Par exemple, la loi de Poisson qui tend asymptotiquement vers la loi normale lorsque son espérance augmente. Si l’on choisit une densité de probabilité en ordonnée et un nombre de réalisations en abscisses, il faut ensuite faire évoluer les deux courbes au fur-et-à-mesure que le paramètre augmente (celui-ci étant à la fois l’espérance et la variance des deux lois) jusqu’à ce qu’elles se confondent presque. Nous n'avons hélas pas intégré d’animation sur ce site web et nous laissons à votre féconde imagination de soin de vous représenter ce qu'est dans ce cas un comportement asymptotique.
