Voici une question qui laisse perplexe plus d’un lycéen : « à quoi sert une dérivée ? ». Réponse : elle permet surtout de connaître le taux de variation pour tout réel d’une fonction (du moins là où ladite fonction est dérivable). Mais, lorsque le sujet est abordé en classe de première, elle sert surtout à se donner une idée de la courbe représentative alors qu'on ne dispose que de l'expression algébrique d'une fonction. Pour mener l'enquête et établir un tableau de variations, il est en effet plus simple de passer par la dérivée que par les compositions de fonctions...

La dérivée d'une fonction f s’écrit f’ ou df / dx.

Une fonction à valeurs réelles est DÉRIVABLE sur un intervalle si elle l’est pour chacune des valeurs de cet intervalle (voir page tangente et dérivée en un point).

Lorsque la dérivée est positive, la fonction est strictement croissante et inversement si elle est négative (rappelons que graphiquement, la dérivée en un point est donnée par le coefficient directeur de la tangente en ce point). C'est le principe de Lagrange. L'étude des signes d'une dérivée permet ainsi d'établir le tableau de variations de la fonction dont elle est issue. Le tableau de signes qui fonde cette analyse nécessite souvent une factorisation.

Cependant, une richesse supplémentaire réside dans les VALEURS prises par la dérivée... Les variations d'une fonction apparaissent bien sûr lorsqu'on trace sa courbe représentative sur un plan normé, surtout si l'on indique les tangentes des points qui nous intéressent. Mais on peut aussi tracer la courbe de la dérivée elle-même (là où la fonction est dérivable, bien entendu). On lit alors directement sur l'axe des ordonnées le taux de variation de la fonction en tout point.

Exemple : ci-dessous, la courbe rouge représente la fonction f(x) = 0,02x³ – 1 (réalisation sur SineQuaNon). La verte représente sa dérivée f'(x) = 0,06x². Comme la fonction est toujours croissante, la dérivée est toujours positive (au-dessus de l'axe des abscisses). En 0, la fonction n'est ni croissante ni décroissante. On remarque donc que f'(0) = 0. On observe aussi que la fonction montre un « ralentissement » progressif jusqu'à 0 (donc la dérivée décroît) puis qu'elle s'emballe ensuite (la dérivée croît). Le taux de variation de la dérivée est d'ailleurs donné par sa propre dérivée, dite « dérivée seconde » de la fonction initiale.

Voir un autre exemple de comparaison de deux tracés en page fonction inverse.

Le cheminement inverse de la dérivation consiste à déterminer des primitives.

Dérivées usuelles

La dérivée d’un simple nombre est égale à zéro. Si l’on trace la droite horizontale d'équation y = 2 sur un repère, sa tangente est confondue avec elle et n’a donc aucune pente (première ligne du tableau ci-dessous).

La dérivée d’une fonction affine y = ax + b est égale à a. Dans ce cas aussi, il est évident que la tangente ne peut pas effleurer la droite et qu’elle est confondue avec elle. Sa pente est égale à a, c’est-à-dire que si l’on augmente x de 1, on augmente y de a.

Les dérivées usuelles sont les suivantes :

Toutefois, ce ne sont généralement pas ces fonctions qui sont à dériver mais des composées de celles-ci (voir page formules de dérivation).

Quelques applications liées à l'économie d'entreprise

Non, le calul des dérivées ne sert pas qu'à décrocher le bac !

En statistiques, la dérivée d’une fonction de répartition est une fonction de densité. Mais le calcul des dérivées ne fait pas partie du quotidien d’un statisticien…

L’élasticité d’une fonction, particulièrement utile dans la fonction marketing pour déterminer les prix, est fondée sur la notion de dérivée (voir aussi la page élasticité-prix).

La dérivée d’une fonction de coût total est une fonction de coût marginal.

Si un coût global est décomposable en une somme de deux fonctions de coût qui varient en sens inverse l'une de l'autre, on remarque qu'il est au plus bas là où ces deux fonctions s'égalisent. On peut donc déterminer algébriquement une quantité optimale qui se situe la où la dérivée de la fonction de coût global s'annule. C'est ainsi qu'on peut trouver le volume de stock qui minimise le coût de stockage.

Les mathématiques financières utilisent beaucoup les dérivées mais rarement dans le cadre de fonctions à une seule variable.

D’une manière plus générale, les démonstrations visant à établir des minimaux ou des maximaux s’appuient sur l’annulation de dérivées. Ce type de démonstration est omniprésent dans les manuels de statistiques (exemple en page dérivée partielle).