Exercices sur optimisations aires / volumes
Les élèves de première générale ont un jour ou l’autre à résoudre un exercice d’optimisation géométrique en utilisant une fonction dérivée. La page dérivation et surfaces en propose d’ailleurs deux. Les problèmes de volume ne sont pas plus difficiles à résoudre tant qu’ils se limitent à l’étude de formes simples.
Le premier exercice est issu de l’épreuve du bac littéraire de 1985 (groupement III). Ce type de problème est un incontournable des manuels de première. Le second exercice sera plus difficile car l’énoncé vous guidera peu. Mais nul doute que vous vous en sortirez très bien.
Exercice 1
On dispose une feuille de carton rectangulaire, de 80 cm de long et 50 cm de large, avec laquelle on veut fabriquer une boîte ayant la forme d’un parallélépipède rectangle. Pour cela, on découpe dans la feuille quatre carrés égaux, aux quatre coins (voir la figure), puis on plie le carton suivant les segments \([AB],\) \([BC],\) \([CD]\) et \([DA].\) On appelle \(x\) la mesure en cm de côté de chaque carré découpé.
1- Préciser entre quelles valeurs peut varier \(x\) pour que la boîte soit réalisable. On obtiendra un intervalle \(I.\)
2- Déterminer le volume en cm³ de la boîte obtenue, en fonction de \(x.\) On le notera \(V(x)\) et l’on établira que \(V(x) - 4x^3 - 260x^2 + 4000x.\)
3- Étudier les variations de la fonction \(V\) sur \(I,\) et en déduire la valeur de \(x\) qui rend le volume de la boîte maximum. Quels sont alors les dimensions et le volume de la boîte obtenue ?
Exercice 2
Soit un cylindre d’une contenance d’un litre. Après avoir rappelé l’équation que doivent vérifier les deux grandeurs \(h\) (hauteur en cm) et \(r\) (rayon en cm), déterminer le rayon pour lequel l’aire du cylindre, disques compris, est minimale.
Corrigé 1
1- Les distances doivent être strictement positives. Par conséquent, \(50 - 2x > 0\) et \(80 - 2x > 0.\) Il s’ensuit que \(I = ]0\,; 25[.\)
2- Le volume est égal au produit de la longueur, de la largeur et de la profondeur.
\(V(x) = (50 - 2x)(80 - 2x)x\)
\(V(x) =\) \((4000 - 100x - 160x + 4x^2)x\)
On distribue, on réduit et on ordonne pour trouver l’expression indiquée dans l'énoncé. Aucune difficulté.
3- Pour connaître les variations de \(V,\) il faut étudier le signe de sa dérivée et donc en premier lieu établir l’expression de cette dernière. La dérivée d’une fonction polynomiale du troisième degré ne présente là non plus aucune difficulté.
\(V'(x) = 12x^2 - 520x + 4000\)
\(V’\) est un polynôme du second degré. Déterminons ses racines. Pour cela, calculons le discriminant.
\(12x^2 - 520x + 4000 = 0\)
\(⇔ 3x^2 - 130x + 1000 = 0\)
\(\Delta = (-130)^2 - (4 × 3 × 1000)\) \(= 4900\) \(= 70^2.\) Comme \(\Delta > 0,\) l'équation admet deux solutions \(x_1\) et \(x_2.\)
\(x_1 = \frac{130 - 70}{2 \times 3} = 10\)
\(x_2 = \frac{130 + 70}{2 \times 3} = \frac{100}{3}\) soit environ 33,33 (n’appartient pas à \(I\)).
Nous arrivons au terme de notre périple mathématique. Dressons le tableau suivant :
Le maximum est atteint pour \(x = 10.\) Lorsque les carrés ont 10 cm de côté, le volume de la boîte s’établit donc à \(60 × 30 × 10\) \(= 18\,000 \; \mathscr{cm}^3,\) soit 18 litres.
Corrigé 2
Le volume d’un cylindre est donné par la formule \(\pi r^2 h.\) Si \(r\) et \(h\) sont exprimés en cm, alors le volume l’est en cm³.
Un litre est égal à un décimètre cube, c’est-à-dire \(10 × 10 × 10\;cm.\) Par conséquent, l’équation est \(\pi r^2 h = 1000.\)
L’aire du cylindre est égale à \(2 \pi r h,\) à laquelle il faut ajouter les deux disques, donc \(2\pi r^2.\)
Puisque nous devons chercher un rayon, exprimons notre formule sous forme d’une fonction du rayon : \(f(r) = 2 \pi r h + 2 \pi r^2,\) avec \(r > 0.\)
Il est évident que ce \(h\) nous gêne ! Compte tenu de ce que nous savons sur le volume, \(h = \frac{1000}{\pi r^2}.\) Par conséquent :
\(f(r)\) \(= 2 \pi r \times \frac{1000}{\pi r^2} + 2 \pi r^2\) \(= \frac{2000}{r} + 2 \pi r^2.\)
Il nous faut à présent étudier les variations de cette fonction et pour cela déterminer sa dérivée.
\(f'(r) = 4 \pi r - \frac{2000}{r^2}\)
L’étude du signe d’une dérivée est infiniment plus pratique si elle est présentée sous la forme d’un produit ou d’un quotient :
\(f'(r) = \frac{4 \pi r^3 - 2000}{r^2}\)
Résolvons l'inéquation suivante.
\(4 \pi r^3 - 2000 > 0\)
\(\Leftrightarrow \pi r^3 > \frac{2000}{4}\)
\(\Leftrightarrow r^3 > \frac{500}{\pi}\)
Il s’ensuit que :
\[r > \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}} \approx 5,419\]
Vous pouvez dresser le tableau de variation si le cœur vous en dit. L’aire du cylindre d’une contenance d’un litre est minimale si son rayon est d’environ 5,42 cm.
