Dérivées de fonctions trigonométriques

Exercices de dérivation sur fonctions trigonométriques

Pour votre plus grand plaisir, voici quelques exercices de dérivation bien mérités. Il s’agit uniquement de fonctions trigonométriques.

Le niveau de difficulté, légèrement progressif, est celui d’une terminale S.

 

Rappel des dérivées

Fonction Dérivée
\(\sin u(x)\) \(u'(x) \cos u(x)\)
\(\cos u(x)\) \(-u'(x) \sin u(x)\)
\(\tan u(x)\) \(\frac{u'(x)}{\cos^2 u(x)}\) \(= u'(x)(1 + \tan^2 u(x))\)

Allez, c'est parti...

 

Exercice 0

Déterminer la dérivée de la fonction tangente.

La solution se trouve en page opérations sur fonctions dérivables.

 

Exercice 1 et éléments de correction

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}^*\). Déterminer l'expression de sa dérivée \(f'.\)

\(f(x) = x^2 \cos {\frac{1}{x}}\)

Nous sommes en présence d'un produit de fonctions.

\(f(x) = u(x)v(x)\) donc \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\) avec...

  • \(u(x) = x^2\)
  • \(u'(x) = 2x\)
  • \(v(x) = \cos \frac{1}{x}\)
  • \(v'(x) = \frac{1}{x^2} \sin\frac{1}{x}\)

Donc \(f'(x) = 2x \cos\frac{1}{x} + \sin \frac{1}{x}\)

 

Exercice 2

Dériver la fonction \(g,\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) (l’expression \(\sin x + 5\) étant positive).

\(g(x) = \cos {\sqrt{\sin x + 5}}\)

Corrigé :

On cherche d’abord la dérivée de l’expression sous radical. rappelons que la dérivée de \(\sqrt{u(x)}\) s'écrit \(\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.\)

Ainsi la dérivée de \(u(x) = \sqrt{\sin x + 5}\) est \(u'(x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x + 5}}\)

Reprenons.

\(g(x) = \cos u(x)\) donc \(g'(x) = -u'(x) \sin u(x)\) avec...

  • \(u(x) = \sqrt{\sin x + 5}\)
  • \(u'(x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x + 5}}\)

Donc \(g'(x) = - \frac{\cos x \sin {\sqrt{\sin x + 5}}}{2 \sqrt{\sin x + 5}}\)

 

Exercice 3

Dériver la fonction \(h\) définie... on ne sait où !

\(h(x) = \tan e^x\)

Corrigé :

La dérivation est plutôt simple à calculer mais l'ensemble de définition doit être cerné. La tangente n’est définie que si \(\cos x\) n'est pas nul (voir page trigonométrie), c’est-à-dire que \(e^x\) doit être différent de \(\frac{π}{2} + kπ\) \((k \in \mathbb{Z}),\) et donc que \(x\) doit être différent du logarithme de ces valeurs .

\(D_h = \mathbb{R} \backslash \{\ln (\frac{\pi}{2} + k \pi)\},\) \(k \in \mathbb{Z}\)

À présent, dérivons.

\(\tan e^x = \frac{\sin e^x}{\cos e^x}\) donc nous sommes en présence d'un quotient de fonctions.

\(h(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) avec...

  • \(u(x) = \sin e^x\)
  • \(u'(x) = e^x \cos e^x\)
  • \(v(x) = \cos e^x\)
  • \(v'(x) = -e^x \sin e^x\)

\(h'(x) = \frac{e^x \cos^2 e^x + e^x \sin^2 e^x}{\cos^2 e^x}\)

\(\Leftrightarrow h'(x) = \frac{e^x(\sin^2 e^x + cos^2 e^x)}{\cos^2 e^x}\)

\(\Leftrightarrow h'(x) = \frac{e^x}{\cos^2 e^x}\)

 

Exercice 4

Une magnifique fonction, définie et dérivable sur \(\mathbb{R}.\)

\(l(x) = -2 \sin^2 x + 2 \sin x\)

Corrigé :

\(\sin^2 x\) est de la forme \(u(x)^2\) et sa dérivée prend une forme \(2u(x)u’(x),\) soit \(2 \sin x \cos x.\)

\(l'(x) = -4\sin x \cos x + 2 \cos x\)

\(\Leftrightarrow l'(x) = 2\cos x(-2 \sin x + 1)\)

 

Autres exercices (études supérieures)

Voir la page sur le développement limité de Mc Laurin.

 

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