Cette page introduit les fonctions dont l'étude offre un cadre à l'analyse, l'une des branches des mathématiques les plus fécondes. Au lycée, ce type d'étude représente la part la plus importante des programmes. Petite mise en garde pour éviter à certains une lecture fastidueuse : certaines notions que nous verrons ci-après ne sont enseignées que dans le supérieur.

Fonctions et applications

Une application est une relation binaire qui associe tout élément d’un ensemble de départ (antécédent) à un seul élément d’un ensemble d’arrivée (image). Lorsque cette relation est numérique, on parle plutôt de FONCTION à une variable. Les deux sont souvent considérées comme synonymes mais Il existe une petite différence puisqu'une fonction admet qu'un élément de l'ensemble de départ n'ait aucun élément associé dans l'ensemble d'arrivée. Par exemple, la fonction inverse n'admet pas d'image pour le réel 0. Donc, une fonction est une application sur son seul ensemble (ou domaine) de définition, c'est-à-dire sur l'ensemble de ses antécédents.

Cet ensemble est constitué de réels (ou d’entiers dans le cas des suites). Notons f l’opérateur de la fonction. L’image est alors le réel f(x).

Autre définition, lorsqu'une application a pour ensemble d'arrivée un corps, on parle de forme. Par exemple, une fonction déterminant est une forme d'un espace vectoriel sur un ensemble de scalaires (des réels ou des complexes).

Une fonction est souvent exprimée par une formule algébrique mais ce n'est pas obligatoire.

Graphiquement, une fonction à une variable est représentée par une courbe dans un plan. Les antécédents figurent en abscisse (x) et leurs images sont lues sur l’axe des ordonnées (y). À chaque valeur de x appartenant au domaine de définition est associée y, valeur prise par f(x). Voici un exemple de courbe représentant une relation dans R² qui N’EST PAS une application puisqu'à certaines valeurs de x correspondent jusqu'à trois valeurs de y :

En économie, ce type de courbe n'est pas rare. Il représente les différentes solutions admises par une équation.

Avant de revenir aux fonctions numériques, voyons quelques propriétés que peuvent présenter les applications.

Injection

Une application est injective si deux éléments distincts de l’ensemble de départ ont deux images distinctes. Par exemple, la fonction exponentielle est injective, à chaque valeur de x étant associée une valeur y. Notez que si l’on considère R comme l’ensemble d’arrivée, certaines valeurs de y n’ont pas d’antécédent (les valeurs négatives). En revanche, sur R, l'application définie par f(x) = x² n'est pas injective puisque, hormis 0, une même image a toujours deux antécédents. Autre exemple d'injection, présentée sous forme de diagramme sagittal :

NB : on peut remplacer les flèches par des traits et ne pas tracer les « patates » pour délimiter les ensembles. On parle alors de représentation duale.

Surjection

Une application est surjective lorsque l’ensemble d’arrivée est entièrement couvert. Si l’on considère que cet ensemble d’arrivée est R⁺*, notre fonction exponentielle est cette fois-ci surjective. Exemple de représentation d’une surjection dans R² :

NB : sur injection et surjection, voir aussi la page rang et noyau.

Bijection

Une bijection est injective ET surjective. Situation facile à appréhender (chaque antécédent a une image et vice versa). Une application bijective admet une réciproque.

Opérations sur les fonctions

Des applications f et g peuvent s’enchaîner. Le résultat est une autre application, dite composée de fonctions et notée f o g. Les fonctions peuvent également s'ajouter ou se multiplier, soit entre elles soit avec des scalaires (Cf. page opérations sur les fonctions).

Étude d'une fonction

Voir page étude de fonction.

Fonctions usuelles

Ce sont les fonctions les plus importantes, sur lesquelles on greffe toutes les fonctions numériques par le jeu de la composition.

La fonction constante est la plus triviale puisqu'à tout antécédent est associée la même image. Les fonctions linéaires et affines se traduisent graphiquement par des droites (NB : toute droite verticale du plan peut représenter une fonction, sauf si elle est verticale puisque dans ce cas on associe une infinité d'images à un seul antécédent).

Parmi les applications enseignées avant la classe de terminale, mentionnons les fonctions : carré et cube, inverse, racine carrée et du second degré. La fonction valeur absolue fait aussi partie de ces applications simples.

Les fonctions trigonométriques et les trigonométriques réciproques sont aussi des fonctions usuelles.

La grande famille des fonctions logarithmes et exponentielles constitue un excellent vivier de fonctions usuelles : logarithme népérien, décimal ou de base a, exponentielle, puissance, les quatre hyperboliques, les hyperboliques réciproques, etc.

Utilités

En statistiques, on étudie souvent des relations qui ne sont pas des fonctions. Des observations sont représentées par ces bons vieux nuages de points que le statisticien exploite en les transformant en fonctions (Excel suffit souvent pour le faire). La plus simple expression est l’équation de la droite de régression linéaire. Mentionnons aussi la régression sur tendance quadratique, sur tendance exponentielle, sur tendance logarithmique, sur tendance logistique, sur courbe de Gompertz...

En gestion ou en marketing, on rencontre quelques types de fonctions qui donnent une expression mathématique aux valeurs que peuvent prendre un coût marginal ou une élasticité-prix, par exemple. Voir aussi la page exercice sur les surplus.