Ce chapitre des mathématiques n’a plus la cote. Dans les années 70, il était enseigné en début d’année de seconde. Aujourd’hui, certaines de ces notions sont apprises après le bac. Ne nous plaignons pas, elles ont cédé la place aux rudiments de la statistique descriptive (médiane, quantiles, etc.)…

Les relations binaires

Ce ne sont pas ces relations-ci qu’il est prioritaire d’entretenir pour faciliter une carrière. Elles ne facilitent que la bonne compréhension de raisonnements mathématiques.

Soit un ensemble muni d’une relation R. Cette relation existe entre deux éléments, ou composantes, d’un couple. Je sais, c’est très abstrait. Mais les exemples ne vont pas tarder à arriver.

L’ensemble des couples possibles est appelé produit cartésien. Il est noté E × F (si E est l’ensemble de départ et F celui d’arrivée). Ce produit est nommé carré cartésien si ces deux ensembles ne font qu’un seul. C’est d’ailleurs le cas le plus habituel en analyse mathématique, ce fameux ensemble étant soit celui des réels, soir celui des complexes.

La relation est réflexive si x R x. Dans l’ensemble des réels, la relation >= est réflexive puisque x >= x. En revanche, dans l’ensemble des droites, la relation « est orthogonale à » n’est pas réflexive puisqu’une droite n’est pas orthogonale à elle-même.

La relation est symétrique si x R y implique que y R x. L’addition ou l’égalité sont symétriques mais pas la division.

La relation est antisymétrique si x R y et y R x impliquent que x = y. Cette notion est plus délicate à maîtriser. La relation ≥ est antisymétrique car si x ≥ y et y ≥ x, c’est que x = y. La relation x + y = 0 n’est pas antisymétrique. Le fait que x + y = 0 et y + x = 0 ne signifie pas que x = y. On utilise l’antisymétrie pour démontrer, par exemple, que deux ensembles sont égaux si le premier est inclus dans le deuxième et si le deuxième est inclus dans le premier.

L’antisymétrie n’a donc rien à voir avec la non-symétrie (l’inclusion n’est pas symétrique tout en étant antisymétrique, et vice versa pour le parallélisme).

La relation est transitive si x R y et y R z implique que x R z. La relation > est transitive mais pas la relation d’orthogonalité…

Une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et transitive.

Une classe d’équivalence d’un élément modulo R est l’ensemble des éléments qui sont en relation avec lui. L’ensemble des classes de l’ensemble E est noté E / R. Les classes distinctes sont forcément disjointes. Dans l’ensemble des droites muni de la relation de parallélisme, la classe d’une droite Δ est l’infinité des droites parallèles à Δ. Pour signifier que deux éléments font partie d’une même classe, on écrit souvent :

On dit que x est équivalent ou congru à y.

Une relation d’ordre est réflexive, antisymétrique et transitive. Si, pour tout couple (x,y) de E × E on a x R y ou y R x, alors il s’agit d’un ordre total (c’est habituellement le cas sur R). Sinon, cet ordre est partiel.

Une telle relation caractérise les ensembles ordonnés.

Applications et fonctions

Et d’abord, qu’est-ce qu’une application ? C’est une relation qui associe élément(s) d’un ensemble de départ à un seul élément d’un ensemble d’arrivée. Lorsque cette relation est numérique, on parle plutôt de FONCTION. Elle se résume souvent par une formule algébrique mais ce n'est pas obligatoire. Précisons toutefois qu’une fonction peut ne pas avoir d’image pour chaque élément de l’ensemble de départ contrairement à une application.

Cet ensemble est constitué de réels (ou d’entiers dans le cas des suites). Ce sont les antécédents. Notons f l’opérateur de la fonction. L’image est alors le réel f(x). L’ensemble des antécédents prend le nom bien connu de domaine de définition, sur lequel la fonction est une application puisqu'ils y ont tous une image.

Graphiquement, une fonction à une seule variable est représentée par une courbe dans un plan. Les antécédents figurent en abscisse (x) et leurs images sont lues sur l’axe des ordonnées (y). Pour chaque valeur de x, c’est la valeur que prend f(x). Voici un exemple de courbe représentant une relation dans R² qui N’EST PAS une application puisqu'à certaines valeurs de x correspondent jusqu'à trois valeurs de y :

En statistiques, on étudie souvent des relations qui ne sont pas des fonctions. Elles sont représentées par ces bons vieux nuages de points. Mais le travail du statisticien consiste justement à les exploiter en les transformant en fonctions, dont la plus simple expression est l’équation de la droite de régression linéaire. C'est une fonction affine. Tout antécédent y possède une image. Dans le cas d’une régression polynomiale, une image peut avoir plusieurs antécédents. Une fonction peut d’ailleurs se targuer d’une infinité d’antécédents pour une image donnée (fonctions trigonométriques, par exemple).

En économie, les courbes qui ne représentent pas des fonctions sont là aussi courantes. Elles représentent alors les solutions d'une équation.

Injection

Une application est injective si deux éléments distincts de l’ensemble de départ ont deux images distinctes. Par exemple, la fonction exponentielle est injective, à chaque valeur de x étant associée une valeur y. Notez que si l’on considère R comme l’ensemble d’arrivée, certaines valeurs de y n’ont pas d’antécédent (les valeurs négatives). En revanche, sur R, l'application définie par f(x) = x² n'est pas injective puisque, hormis 0, une même image a toujours deux antécédents.

Autre exemple d'injection, présentée sous forme de diagramme sagittal :

On peut remplacer les flèches par des traits et ne pas tracer les « patates » pour délimiter les ensembles. On parle alors de représentation duale.

Surjection

Une application est surjective lorsque l’ensemble d’arrivée est entièrement couvert. Si l’on considère que cet ensemble d’arrivée est R⁺*, notre fonction exponentielle est cette fois-ci surjective. Exemple de représentation d’une surjection dans R² :

Bijection

Une bijection est à la fois injective et surjective. Situation facile à appréhender. C’est par exemple la fonction racine carrée sur R⁺. Une application bijective admet une réciproque.

Composition

Des applications peuvent s’enchaîner. Le résultat est une composée de fonctions. La composée des fonctions f et g est notée f o g (f « rond » g). C’est elle-même une application. La composition est associative : f o (g o h) = (f o g) o h. Une composée d'injections est injective, une composée de surjections est surjective, et, bravo parce que vous l'aviez deviné, une composée de bijections est bijective.