Voici un petit mémo sur les fonctions sinus, cosinus et tangente. Si l’on fait le rapprochement avec le cercle trigonométrique, on sait que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, de période 2π. Je rappelle ici le cercle afin de bien faire le lien avec les fonctions.

La fonction sinus

C’est une fonction continue et impaire dont la dérivée est cos x. Une primitive est -cos x. Points remarquables : sin 0 = 0. On le voit sur le cercle. Si l’angle est nul, M = I et donc le sinus, en ordonnée, est égal à zéro. Déplaçons le rayon dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d’une montre). Si M = J, ça signifie que l’angle est de π / 2 et on remarque que sin(π / 2) = 1. Continuons à déplacer le rayon et on note que sin π = 0 puis que sin(3π / 2) = -1. Si l’on fait un tour complet, on voit que sin 2π = 0.

Par conséquent, la fonction est définie sur R, les valeurs sont toujours comprises entre 0 et 1 et sin x = sin(x + 2π). Illustration :

Ce type de fonction est appelé, devinez pourquoi, une sinusoïdale.

La fonction cosinus

C’est une fonction paire. Sa dérivée est -sin x et une primitive est sin x.  Je vous laisse le soin de faire le lien avec le cercle trigonométrique.

La fonction tangente

Rappelons que tan x = sin x / cos x. Donc, la fonction n’est pas continue puisqu’elle n’est pas définie chaque fois que cos x = 0. En revanche, elle part à l’infini lorsque sin x = 0. D’où cet aspect bizarre de repère rageusement rayé…

Il s’agit d’une fonction impaire, définie lorsque x est différent de (π / 2) + kπ (k étant un entier), dont la dérivée s’écrit 1 + tan² x.

D'ailleurs, sachant que sin² x + cos² x = 1, il est facile de montrer que...

Les développements limités de ces fonctions au voisinage de zéro figurent en page développement limité de Mc Laurin.

Les fonctions inverses

Sont représentées ci-dessous les courbes des fonctions sécante (en bleu), cosécante (en orange) et cotangente (en rouge).

Voir également la page exercices de dérivation de fonctions trigonométriques.

Les fonctions sinus, cosinus et tangente admettent des réciproques sur certains intervalles. Ce sont les fonctions trigonométriques réciproques arc-sinus, arc-cosinus et arc-tangente.