Voici un petit mémo sur les fonctions sinus, cosinus et tangente. En latin, sinus signifie courbé, d'où le mot « sein ». Vous jugerez vous-même si les fonctions trigonométriques ont plus de charme que les autres...

Si l’on fait le rapprochement avec le cercle trigonométrique, on devine que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, de période 2π. Je rappelle ici le cercle afin de bien faire le lien avec les fonctions.

La fonction sinus

C’est une fonction continue et impaire dont la dérivée est cos x. Une primitive est -cos x. Points remarquables : sin 0 = 0. On le voit sur le cercle. Si l’angle est nul, M = I et donc le sinus, en ordonnée, est égal à zéro. Déplaçons le rayon dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d’une montre). Si M = J, ça signifie que l’angle est de π / 2 et on remarque que sin(π / 2) = 1. Continuons à déplacer le rayon et on note que sin π = 0 puis que sin(3π / 2) = -1. Si l’on fait un tour complet, on voit que sin 2π = 0.

Par conséquent, la fonction est définie sur R, ses valeurs sont toujours comprises entre -1 et 1 et sin x = sin(x + 2π). Il s'ensuit que son ensemble d'étude peut se réduire à l'intervalle [0 ; π / 2] et qu'à l'infini, elle n'admet pas de limite...

Illustration :

Ce type de fonction est appelé, devinez pourquoi, une sinusoïdale.

La fonction cosinus

C’est une fonction paire. Sa dérivée est -sin x et une primitive est sin x.  Pour le reste, on fera les mêmes observations que pour la fonction précédente puisqu'elle est également bornée, que sa période est la même et qu'elle n'admet pas de limite à l'infini. Je vous laisse le soin de faire le lien avec le cercle trigonométrique et d'imaginer le tableau de variation...

La fonction tangente

Rappelons que tan x = sin x / cos x. Donc, la fonction n’est pas continue puisqu’elle n’est pas définie chaque fois que cos x = 0. En revanche, elle part à l’infini lorsque sin x = 0. D’où une représentation graphique à l'aspect bizarre d'un repère rageusement rayé…

Il s’agit d’une fonction impaire définie lorsque x est différent de (π / 2) + kπ (k étant un entier relatif) et dont la dérivée s’écrit 1 + tan² x.

D'ailleurs, sachant que sin² x + cos² x = 1, il est facile de montrer que cette dérivée peut s'écrire d'une autre façon :

Notons que toutes ces fonctions sont tantôt convexes tantôt concaves selon les intervalles.

Leurs développements limités au voisinage de zéro figurent en page développement limité de Mc Laurin.

D'autres fonctions issues plus ou moins directement des sinus et cosinus, comme par exemple les fonctions sécante et cosécante, font l'objet de la page autres fonctions trigonométriques.

Enfin, les fonctions sinus, cosinus et tangente admettent des réciproques sur certains intervalles. Ce sont les fonctions trigonométriques réciproques arc-sinus, arc-cosinus et arc-tangente.

Voir également les pages exercices de dérivation de fonctions trigonométriques et intégrales de Wallis.