L’intégration est généralement plus difficile à réaliser que la dérivation. Une formule permet souvent de se tirer d’embarras, mais elle reste tout de même un cauchemar pour de nombreux lycéens et étudiants :

Exemple assez simple (bac B Créteil-Paris-Versailles, remplacement 1984) :

Pour tout réel x strictement positif :

Considérons que u = ln t et v’ = 1 / t², c’est-à-dire que v = -1 / t et que u’ = 1 / t (Cf. page logarithmes). D’ailleurs, il est généralement plus simple de réserver u pour les expressions avec logarithmes lorsqu’il y en a. Remplaçons les termes généraux de l’intégration par parties…

Le premier terme se transforme d’autant plus facilement que ln 1 = 0. Il nous reste à intégrer -1 / t² dt.

Une primitive de -1 / t² est 1 / t. Ce deuxième terme est donc égal à -(1 / x) + 1. Finalement,

Exemple un peu plus compliqué (bac S, Antilles-Guyane, juin 1999) :

Il s’agit de calculer I(a) en remarquant que, pour x appartenant à ]0 ; +∞[, 1 / x(x + 1) = (1 / x) – [1 / (x + 1)].

Posons u = ln(x + 1) donc u’ = 1 / (x + 1) et v’ = 1 / x² d’où v = -1 / x. L’intégration, brute de fonderie, apparaît ainsi :

Pour l’étape suivante, nous utilisons la propriété indiquée dans l’énoncé. Il est dès lors facile de trouver des primitives pour 1 / x (c’est ln x) et pour 1 / (x + 1)…

La deuxième partie de l’expression devient alors ln a – ln(a + 1) + ln 2. Ainsi :

L’œuvre est achevée.

Exemple avec expression trigonométrique :

Nous savons depuis notre tendre enfance que (1 + tan² x) est la dérivée de tan x (voir page fonctions trigonométriques). Dès lors, le choix de u et de v tombe sous le sens. u = x, u’ = 1, v’ = 1 + tan² x et v = tan x. Il vient…

Si nous remplaçons tan x par sa définition qui est sin x / cos x, l’intégration devient plus simple puisque la fonction est de forme -u’ / u, soit l’expression d’une fonction logarithme.

(C signifie Constante).

Exemple d’intégration par parties successives :

Une intégration par parties successives est une intégration où le deuxième terme ne peut toujours pas être directement calculé et doit faire l’objet à son tour d’une intégration par parties, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne subsiste de cette mise en abyme que des primitives.

L’exemple qui suit a été emprunté à « Travaux dirigés Analyse 1 » de J.-P. Lecoutre et P. Pilibossian, Dunod 2004, p. 149, ouvrage particulièrement recommandé pour l’entraînement aux intégrales (niveau licence d’économie).

Soit u = (ln x)² et donc u’ = 2 ln x / x. Comme v’ = 1 / x², v = -1 / x. Nous obtenons :

L’expression intégrée ne correspondant à aucune primitive connue. Essayons de l’intégrer par parties elle aussi.

Choisissons encore le logarithme pour u, donc u’ = 1 / x, reste v’ = 1 / x² et bien sûr v = 1 / x. Notre nouvelle intégrale s’écrit ainsi :

Cette fois-ci, une primitive se trouve facilement. Ce n’est autre que -1 / x. Ainsi, toute l’expression peut être écrite sans aucune intégrale :

Résolvons.

(-1 / e) + 2[(-1 / e) – ((1 / e) –1)], donc -(1 / e) – (2 / e) – (2 / e) + 2, soit 2 – (5 / e).

Mission accomplie.

Exemple d'application aux statistiques

Voir page exercices avec la loi exponentielle.