La limite : voici un terme mathématique bien connu (et pas toujours favorablement de la part des lycéens...). Trouver une limite, c’est déterminer le comportement d'une fonction, en particulier à l'une des bornes de son domaine de définition, infini compris.

Ainsi, une limite peut être déterminée au voisinage d'une valeur (à droite et / ou à gauche), même si la fonction n'est pas définie pour cette valeur. La limite elle-même est soit finie soit infinie. Le calcul des limites aux bornes du domaine de définition fait partie des étapes de l'étude d'une fonction.

Ne pas confondre l’absence de limite et la limite infinie. À titre d'exemple, lorsque x tend vers  l’infini, la limite de e^x tend aussi vers l’infini. En revanche, la limite de sin x n’existe pas. Remarquez au passage que l'étude des limites emploie un vocabulaire particulier (notamment le verbe tendre).

La plupart des limites usuelles se découvrent facilement pour qui possède un peu de bon sens (l'inverse d'un nombre minuscule est très grand et réciproquement...). Ainsi, pour n étant un nombre strictement positif :

Limites sur les logarithmes et sur la fonction exponentielle :

Autre limite utile :

Au-delà de l'approche intuitive, il existe bien entendu des définitions rigoureuses de la notion de limite, utilisées pour les démonstrations.

Opérations sur les limites

Il existe des cas (particulièrement nombreux dans les exercices de maths) où la détermination de la limite n'est pas tout de suite évidente. Il faut alors pousser l’analyse à l’aide des croissances comparées, des fonctions équivalentes ou autres triturations algébriques telles que changements de variables. Il existe quatre formes indéterminées algébriques (enseignées dans le secondaire) et trois formes exponentielles :

Exemple d'utilisation des fonctions équivalentes : à l’INFINI, une fonction polynomiale se comporte comme son terme de plus haut degré et une fonction rationnelle se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré.

Lorsqu’une limite d’une fonction en a n’est pas immédiatement déterminée, on peut ruser en calculant une limite en (a + h) lorsque h tend vers zéro. Par exemple, on cherche la limite au voisinage de a = 2 de la fonction suivante :

Posons x = 2 + h.

Notez qu’on serait arrivé au même résultat en factorisant par (x – 2) le numérateur et le dénominateur (c’est d’ailleurs plus simple. Voir la levée d'indétermination de la page division de polynômes).

La courbe représentative de cette fonction admet une asymptote horizontale d'équation y = ⅔. En effet, nous avons vu qu'à l'infini la limite d'un quotient est égale au rapport des termes du plus haut degré (soit 2x² / 3x²).

Le théorème des gendarmes (limite par encadrement). Si, au voisinage de a :

Ce théorème est particulièrement utile pour déterminer la limite d'une fonction dont l'expression inclut une forme trigonométrique.

Le théorème de composition :

La règle de L’Hôpital : on quitte les formules « évidentes » pour une technique efficace servant à lever les indéterminations. Si la limite de f(x) / g(x) est indéterminée, on la trouve par le quotient des dérivées  f’(x) / g’(x). Si ça ne suffit pas, on dérive encore. Dans l’exemple de f(x) indiqué ci-dessus, cela revient à chercher la limite en a = 2 de (4x + 4) / (6x + 1), soit 12 / 13. Le résultat est immédiat.

Limites et continuité : la limite est le concept central de la notion de continuité. L'étude des limites autour d'un point non défini d'une fonction peut parfois permettre un prolongement par continuité. Il faut pour celà qu'elles soient finies et qu'elles tendent vers la même valeur.

Entraînement :

Soit la fonction g définie sur R* :

On cherche la limite à droite de zéro (soit 0+).

Solution: on sait qu'un cosinus se situe entre -1 et 1. Donc le numérateur est compris entre -x et x, qui tendent tous deux vers 0. On déduit grâce au théorème de limite par encadrement que le numérateur tend vers zéro tandis que le dénominateur tend vers la racine carrée de 2. Donc, la limite de g(x) quand x tend vers 0+ est égale à 0.

Voir aussi la page d'exercices sur les limites avec exponentielle.

Dans certains cas difficiles de levée d'indétermination, il est possible de recourir aux développements limités (voir page calcul de limites avec développement de Mc Laurin). Cette technique n'est pas au programme de l'enseignement secondaire.

Suites :

Si une suite est présentée sous forme de fonction, on trouve sa limite avec les mêmes théorèmes. Tous les détails en page limites de suites !