Une introduction à la parité

Fonctions paires et impaires

Nous vous présentons ici une notion particulièrement importante pour certaines fonctions. Attention, cette page s’adresse surtout aux élèves de seconde. Si vous êtes étudiant(e), bifurquez plutôt vers la page sur la parité. Si vous êtes en première générale, reportez-vous aux exercices sur la parité des fonctions trigonométriques.

 

Fonctions paires

Doit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D_f.\) Cette fonction est paire si, pour tout \(x\) appartenant à \(D_f\) on a \(-x\) qui appartient aussi à \(D_f\) et si \(f(-x) = f(x).\)

Par conséquent, dans un repère orthogonal la courbe représentative de \(f\) montre une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

La plus connue des fonctions paires est la fonction carré.

Prenons comme exemple la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^2 - 1.\)

\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\), donc quel que soit \(x,\) \(f(x)\) et \(f(-x)\) existent.

\(f(-x) = (-x)^2 - 1\) \(= x^2 - 1 = f(x)\)

Comme on le voit ci-dessous, la courbe admet bien l’axe des ordonnées comme axe de symétrie (réalisation avec GeoGebra).

x² - 1

Étudions à présent la fonction \(g\) définie par \(g(x) = x^2 + x - 1.\)

Là encore, il s’agit d’une fonction polynomiale, donc définie sur \(\mathbb{R}\). Quel que soit \(x,\) \(g(x)\) et \(g(-x)\) existent.

\(g(-x) = (-x)^2 + (-x) - 1 = x^2 - x - 1 \ne g(x)\). Donc \(g\) n’est pas paire.

x² + x - 1

La courbe admet bien un axe de symétrie mais il est décalé par rapport à l’axe des ordonnées.

Notez que les fonctions de puissance paire sont paires. Voici par exemple la courbe qui représente une fonction \(h\) définie par \(h(x) = x^6.\)

puissance 6

Fonctions impaires

Doit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D_f.\) Cette fonction est impaire si, pour tout \(x\) appartenant à \(D_f\) on a \(-x\) qui appartient aussi à \(D_f\) et si \(f(-x) = -f(x).\)

Par conséquent, dans un repère orthogonal la courbe représentative de \(f\) montre une symétrie par rapport à l’origine.

La plus connue des fonctions impaires est la fonction inverse.

La fonction inverse est définie sur \(\mathbb{R}^*\) et une fonction \(f\) définie par \(f(x) = -\frac{1}{x}\) est également définie sur \(\mathbb{R}^*.\)

Par conséquent \(f\) est aussi une fonction impaire. Ci-dessous apparaissent les courbes représentatives de ces deux fonctions. Celle qui représente la fonction inverse est, bien sûr, la bleue.

1/x et -1/x

Une autre fonction impaire que l’on étudie en seconde est la fonction cube, définie sur \(\mathbb{R}\) tout comme une fonction définie par \(f(x) = -x^3.\) En effet, contrairement au carré, le cube n’est pas toujours positif et \((-x)^3 = -x^3.\)

Notez que les fonctions de puissance impaire sont impaires. Voici par exemple la courbe qui représente une fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x^7.\) L’origine est bien le centre de symétrie de la courbe.

Si vous avez la bonne idée de choisir la spécialité maths en classe de première, vous découvrirez une autre fonction paire (la fonction cosinus) et une autre fonction impaire (la fonction sinus).