Certaines fonctions, y compris des suites, sont condamnées à bégayer à l’infini. Cette situation peu enviable est par exemple celle des fonctions trigonométriques mais pas uniquement.

Exemple de la courbe représentative de la fonction cosinus :

Soit T la période. La fonction est périodique si f(x + T) = f(x).

Ainsi, les mêmes valeurs reviennent à intervalles réguliers, à l’instar des aiguilles d’une horloge. C’est le PLUS PETIT de ces intervalles qui est appelé « période » (même si la petite aiguille donne l’heure de la journée, elle est associée à une période de douze heures).

Il est inutile d’étudier une fonction plus que nécessaire. Derrière cet énigmatique conseil, on devine qu’une fonction périodique ne sera analysée que sur une seule période (inutile de réaliser un tableau de variation qui ressemble à une guirlande).

Je vous sens impatient de découvrir des illustrations mathématiques de la périodicité.

Soit E(x) la partie entière de x par défaut. La partie entière est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Par exemple, E(-3,2) = -4. Et il est limpide que E(x + 1) = E(x) + 1. La manipulation des valeurs entières nécessite beaucoup de bon sens (le jeu de mots est purement fortuit).

Donc, étudions une fonction numérique qui se présente ainsi : f(x) = x – E(x + 0,5).

Notons que l’expression E(x + 0,5) est tout simplement l’arrondi à l’entier le plus proche. La fonction f définie sur R par f(x) représente donc les seules décimales et il est évident que la période est égale à 1. On a donc f(x) = f(x + 1) = f(x + 2)…

Compliquons. Soit la fonction g définie sur R par g(x) = (x / 3) – E(x / 3). Le plus simple est de tracer sa « courbe » représentative avec une calculette ou un logiciel (ici, Sine Qua Non) :

La somme de deux fonctions périodiques est rarement périodique. Mais ici, h(x) = f(x) + g(x) l’est bel et bien (période égale à 3) car le rapport des deux périodes est rationnel :

Les fonctions périodiques sinus et cosinus sont quant à elles continues et de période 2π. Les fonctions sécante et cosécante sont également de même période. La fonction tangente, qui n’est pas continue, est impaire et de période π. Attention, les fonctions trigonométriques réciproques ne sont pas périodiques.

La valeur moyenne d’une fonction de période T est obtenue par l’intégrale :

Dans le cadre des problématiques d'ordre économique, la périodicité se rencontre sur les séries chronologiques avec saisonnalité.