Voici une notion qui peut paraître abstraite (d’ailleurs, elle l’est) et qui s’applique aux fonctions numériques mais aussi de façon beaucoup plus large aux applications entre espaces vectoriels. La réciproque d’une application fait le contraire de l’application initiale et la réciproque de la réciproque permet de retomber sur ses pattes.

Fonctions numériques

Si y = f(x), la fonction réciproque f ^-1 (ou f ^r) est telle que x = f ^-1(y) ou, si ça vous semble plus clair, f ^-1(f(x)) = x. Attention, le -1 en exposant n’a rien à voir avec une puissance.

Prenons quelques cas simplissimes : la réciproque de f(x) = x + 1 est tout simplement égale à x – 1, la réciproque d’une fonction affine f(x) = ax + b est (x – b) / a, la réciproque de la fonction carré est la racine carrée (plus généralement, si f(x) = xⁿ, f ^-1(x) = racine énième de x), la réciproque de la fonction exponentielle est la fonction logarithme népérien (plus généralement, la réciproque d'une exponentielle de base a est une logarithme de base a), la réciproque de la fonction sinus est la fonction arc-sinus… et « réciproquement ».

Attention, cette réciproque n’existe pas toujours et les ensembles de définition d’une fonction et de sa réciproque sont rarement les mêmes. Par exemple, la réciproque de la fonction carrée n’existe que si x est positif (la racine carrée d’un nombre réel négatif n’existe pas). Seule une fonction bijective (i. e. strictement monotone) admet une réciproque.

Il arrive qu’une fonction soit sa propre réciproque (ce qui s’appelle une involution) : la fonction inverse réussit cet exploit.

Graphiquement, on trace une fonction réciproque en utilisant la première bissectrice (y = x) comme un miroir. Voyez par exemple y = x³ et y = x^1/3 (réalisée sur Sine qua non) :

Réciproque d’une composée : (g o f)^-1 = f ^-1 o g ^-1

La dérivée d’une fonction réciproque :

Exemple

Calculer la réciproque de la fonction suivante :

Cette fonction est décroissante sur R. Entrons dans les détails :

Conclusion : f(x) est une involution.

Généralisation

En utilisant les opérateurs des ensembles, on généralise les propriétés des applications réciproques.

Algèbre linéaire

La réciprocité ne s'applique pas qu'à des applications de R dans R. Une application linéaire BIJECTIVE d'un espace vectoriel dans un autre (appelée « isomorphisme ») admet aussi une réciproque. Les vecteurs qui déterminent l'application prennent la forme d'une matrice carrée dont la réciproque est sa matrice inverse.

La notion d'espace vectoriel dépasse d'ailleurs celle d'espace numérique et il existe des espaces de fonctions, de suites, de polynômes... Mais le principe reste le même et la notation également, l'inverse d'un isomorphisme f étant noté f^-1.

D'autres explications sur...

http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc4/deriveE.html