Sur cette page je tenterai de débroussailler l’un des fondements théoriques de la théorie du portefeuille. Parfois perçues par les étudiants comme une incommensurable prise de tête, les fonctions d’utilité et l’aversion au risque ne peuvent être comprises qu’avec un certain bagage mathématique (bac + 1 ou 2 dans une filière économique).

Fonctions d’utilité

Le fait que des individus puissent implicitement se référer à des fonctions d'utilité sous-tend l'hypothèse de leur rationalité. SATISFACTION est cependant un terme plus adéquat qu'UTILITÉ. On mesure donc un niveau de satisfaction. Par rapport à quoi ?

Pour un consommateur, il existe autant de fonctions d’utilité que de produits. Le schéma classique, c'est que plus il possède d'un produit donné, plus il est satisfait (je précise bien qu'il s'agit d'un schéma classique ; il n'y a pas lieu d'être plus satisfait de recevoir une tonne de l'exemplaire du journal du jour plutôt que d'en recevoir un seul, beaucoup moins encombrant !).

Quant à l’investisseur, il peut attribuer à chaque niveau de richesse un degré « d’utilité ». La fonction ne représente alors pas la satisfaction due à tel produit mais celle de la richesse GLOBALE de l’investisseur.

Comme on fait l’hypothèse que cette satisfaction peut être mesurée, on parle d’utilité cardinale (par opposition à l’utilité ordinale qui offre un cadre théorique aux courbes d’indifférence).

Appelons u(w) la fonction d’utilité qui varie selon la richesse. J’utiliserai cette notation que chacun connaît depuis le lycée plutôt que la notation habituellement retenue en micro-économie.

On suppose que cette fonction est continue et strictement croissante, c’est-à-dire que tout individu même très riche préfère être encore plus riche plutôt que se satisfaire de son enviable condition. Donc, la dérivée de cette fonction que je noterai u’(w) est strictement positive.

En revanche, plus l’individu est riche et moins sa satisfaction augmente pour un accroissement de richesse donné. L’utilité marginale est décroissante. Si l’on étudie la dérivée seconde, on a u’’(w) < 0 (courbe concave). On peut toutefois envisager une satisfaction indépendante du niveau de richesse (graphiquement, une fonction affine) avec dérivée seconde nulle, voire des individus qui souhaitent recevoir de plus en plus d’argent au fur-et-à-mesure qu’ils s’enrichissent (courbe convexe).

Utilité de von Neumann et Morgenstern

En 1944, ces auteurs proposèrent une fonction d’utilité adaptée aux événements probabilisés. Les fonctions d’utilité firent ainsi leur entrée dans le domaine du RISQUE.

Le modèle est à la fois plus sophistiqué et plus théorique. Il n’est déjà pas simple d’appliquer une valeur cardinale à une utilité, alors affecter des probabilités aux différentes possibilités…

Bref. À chaque situation ne correspond pas une certitude mais une loi de probabilités, éventuellement très sommaire, avec bien sûr son espérance et sa variance. L’espérance traduit un gain moyen et la variance indique le risque. Cette incertitude traduit un choix auquel l’investisseur est confronté et ce choix peut différer selon son niveau de fortune.

La concavité de la courbe qui représente la fonction d’utilité s’accompagne mécaniquement d’une aversion au risque. Simple bon sens : on trouverait peu d’amateurs pour un billet de loterie qui coûterait 100 € avec une chance sur deux de rapporter soit 200 € soit rien du tout car généralement, à espérance égale, on préfère un événement sûr à une situation aléatoire.

Supposons deux états de richesse W1 et W2, donc deux situations de choix. La fonction d’utilité est représentée ci-dessous en rouge. L’espérance entre les valeurs de W1 et W2, qui eux se situent sur la courbe, se trouve forcément en-dessous, sur une droite (en vert). En effet, une espérance est une combinaison linéaire de valeurs de W dont les valeurs possibles reproduisent graphiquement la fonction d’utilité affine d’une indifférence au risque.

Le graphique ci-dessous montre que l’espérance de la richesse ainsi déterminée s’écarte d’un autre niveau de richesse qui, lui, correspond à l’espérance de l’utilité. Cet autre niveau (Wc) est appelé équivalent certain (voir l'exemple de la page développements limités). L’écart entre ces deux richesses, en orange sur le graphique, est la prime de risque. En pratique, l’évaluation de cette prime est un élément du choix entre un actif non risqué (bon du Trésor) et un risqué (action, par exemple).

Pour mémoire, un investisseur peut aussi être neutre vis-à-vis du risque (la fonction d’utilité est affine), voire « risquophile » (fonction représentée par une courbe convexe). Mais souvent, il est risquophobe puis, au-delà d’un certain niveau de richesse, il devient de plus en plus insensible au risque et la courbe représentative de la fonction d’utilité admet une asymptote oblique.

Exemple :

Soit une fonction d’utilité qui n’est autre que la fonction logarithme népérien (du moins sur sa partie positive).

Le niveau de richesse d’un investisseur est de 10 000. Son choix d’investissement se traduit par les probabilités suivantes : 0,2 d’enregistrer une baisse de 2 000, 0,2 de rester au même niveau et 0,6 de gagner 4 000. Formellement, on résume ainsi la situation (L signifie Loterie et le tilde rappelle la qualité de variable aléatoire) :

Cherchons d’abord l’équivalent certain.

On a ln (Wc) = 0,2 ln 8 000 + 0,2 ln 10 000 + 0,6 ln 14 000, soit 9,3676.

Wc = e^9,3676 = 11 703. Le prix de la loterie s’établit à 1 703.

Je passerai sur l’enfantin calcul de l’espérance de gain. Il donne 2 000.

Comme nous l’avons vu, la prime de risque est la différence entre équivalent certain et espérance de gain. Pour notre investisseur, elle s’élève donc ici à 297. C’est le montant maximal que l’investisseur pourrait dépenser pour éviter la loterie. Pour un risquophile, elle serait négative.

L’aversion absolue pour le risque

Cette prime de risque apparaît aussi comme la multiplication de deux éléments, un coefficient propre à la loterie et une valeur subjective propre à l’investisseur appelée aversion absolue au risque.

Mathématiquement, on ne détermine pas cette décomposition de façon exacte mais grâce à un développement limité de Mc Laurin. Selon le type de fonction, l’approximation (due à J. Pratt) peut même être assez mauvaise puisqu’on se cantonne au degré 2 du développement.

La composante objective est la moitié de la variance de la loterie. Calculons la variance.

La moitié de cette somme vaut 3 200 000.

Le coefficient d’aversion absolue au risque n’est pas difficile à mémoriser :

Dans notre exemple, il est égal à -u’’(10 000) / u’(10 000). Rappelons que la dérivée de ln (w) est 1 / w et que la dérivée seconde est -1 / w². Le coefficient d’aversion absolue au risque s’établit donc à 1 / 10 000.

Le produit des deux composantes donne 320. On remarque une différence d’environ 10 % avec le calcul exact.

L’aversion relative pour le risque

Ici, la prime de risque est proportionnelle au niveau de richesse. Du coup…

La fonction logarithme permet de modéliser une aversion relative CONSTANTE (puisque R = wA = 1).