Rarissime cas de figure et pour cause... L'évolution exponentielle est explosive et un phénomène économique ne peut pas suivre indéfiniment une telle accélération !

On considérera donc que cette évolution s’applique à une série temporelle sur une période finie. Le challenge consiste à trouver l'équation d'une fonction qui synthétise au mieux cette progression.

Alors qu’une tendance linéaire s’applique le plus souvent à des périodes courtes, l’exponentielle se situe dans un cadre de moyen terme. Son expression s’écrit de plusieurs façons dont la plus simple est y = bα^t, avec α = e^a. Ne pas confondre avec la fonction puissance dont la forme est y = bt^a.

L'équation de la courbe de régression par logiciel ou calculatrice peut être déterminée de deux façons. La première consiste à utiliser les logarithmes des données puis à effectuer une régression linéaire. Cette technique se trouve abondamment dans les annales de mathématiques du bac ES. Non détaillée sur ce site, je l'utilise dans un cadre assez proche en page régression sur tendance logarithmique (le changement de variable s'effectue alors par les exponentielles et non par les logarithmes). L'autre moyen est bien sûr de chercher directement l'équation de la courbe. Une simple calculatrice telle que celles utilisées par les lycéens est d'ailleurs capable de la calculer.

À titre d’exemple, l’évolution de la population montréalaise entre 1801 et 1931 est indiquée ci-dessous (source : ville de Montréal). On reconnaît du premier coup d’œil l’évolution exponentielle. Sur Excel, on ajoute la courbe de tendance par un clic droit sur la courbe des observations, puis « ajouter une courbe de tendance » et l’option « courbe exponentielle », avec ajout de l’équation et du R². Ce dernier montre d’ailleurs un excellent ajustement. Mais on peut regretter l’imprécision de l’équation qui en empêche toute utilisation ! (pour info, les valeurs des années ont été reprises telles quelles et non en posant t = 1, 2, 3…).

Mécaniquement, si l’on trace la courbe sur un repère logarithmique en y, les données sont proches d’une droite.

Fort obligeamment, Excel nous restitue les principales informations utiles grâce à la fonction LOGREG. Le tableau ci-dessous reprend les observations dans la colonne « habitants » et la valeur calculée par la régression dans la colonne « croissance », obtenue tout simplement avec la fonction CROISSANCE (sélection de toute la troisième colonne, indiquez la plage de la deuxième colonne dans la formule puis Ctrl+Maj+Entrée).

LOGREG s’utilise exactement comme DROITEREG et nous permet d’admirer ce magnifique résultat :

La première ligne nous indique un taux d’accroissement de 3,512 % par an. L’équation de la courbe peut se lire ainsi : population = 9,7189 × 10^-24 × (1 + 3,512 %)^année.

Les prévisions peuvent être réalisées avec cette équation. La deuxième ligne est celle des écarts-types des paramètres de l’équation. La troisième ligne nous donne cet excellent R² et l'erreur-type (RMSE), la quatrième ligne nous indique la valeur du F (non moins excellente) et le nombre de degrés de liberté. La dernière ligne nous restitue le somme des carrés et la somme des carrés des résidus.

Ces informations sur la qualité de la régression nous permettent de comparer, le cas échéant, ce modèle avec d’autres prévisions.

Ce charmant exemple est repris en page test des séquences. Le choix du modèle y est heureusement conforté.

N’oublions pas que dans la réalité, hormis certains cas de rendements financiers, une évolution exponentielle temporelle finit toujours pas se transformer en autre chose (courbe de type logistique, courbe de Gompertz ou… krach !).