La recherche d’une liaison entre deux variables nous amène à représenter les observations par un nuage de points dans le plan (variable explicative en abscisses et ce qu’on cherche à expliquer en ordonnée). Ce nuage peut montrer une forme. Si celle-ci est linéaire, une régression linéaire simple (RLS) est envisageable afin de le résumer par une fonction affine grâce à la précieuse méthode des moindres carrés. Si la forme est courbée, vous devez faire preuve de physionomie et chercher dans vos souvenirs si vous avez déjà vu cette tête-là en cours de maths (fonction du second degré, exponentielle…) ou en cours de marketing (fonction logistique, de Gompertz).

Parmi les fonctions de référence se trouve la fonction logarithme. Contrairement à d’autres, celle-ci a l’aspect rassurant des situations qui ne s’emballent jamais (en rouge ci-dessous).

L’approximation logarithmique est réalisable avec une calculatrice lorsqu’on est lycéen, avec un tableur lorsqu’on est employé dans une entreprise qui n’a pas les moyens de nous offrir davantage et avec un logiciel de statistiques lorsqu’on travaille dans une entreprise qui nous chouchoute.

Dans la mesure où un logiciel serait utilisé de la même façon que pour les autres types de régression étudiés sur ce site, je me munirai cette fois-ci d’une calculatrice TI82-STATS et d’un sujet de baccalauréat, en l’occurrence celui de la filière ES qui sévit à Pondichéry en avril 2010.

La partie A me donnera l’occasion de montrer comment une calculatrice permet de réaliser une RLS.

Partie A

« Le tableau ci-dessous donne l'évolution, par période de cinq ans, de la population globale des deux Allemagnes (R.F.A. et R.D.A.) de 1958 à 1973.

Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous:

L'allure de ce nuage suggère un ajustement affine.

1. Déterminer, en utilisant une calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième).

2. En 1993, la population globale de l'Allemagne réunifiée s'élevait à 81 millions d'habitants. L'ajustement proposé est-il adapté? »

Avec la calculatrice, on se précipite sur la touche STAT puis on choisit l’option 1 du menu d’édition. On entre les x_i en L1 et les y_i en L2. Touche STAT à nouveau. À présent, on ne choisit plus le menu d’édition mais celui de calcul. Voici la procédure, façon bande dessinée :

On sélectionne la régression linéaire, touche ENTER (2 fois pour obtenir l’équation de la droite des moindres carrés). L’équation est y = 2,45x + 69,3.

En 1993, le rang de l’année est 8. Si dans l’équation on remplace x par cette valeur on trouve 88,9, soit près de 10 % de plus que la réalité. La RLS s'avère donc inadaptée pour établir des prévisions correctes sur une aussi longue période.

Partie B

« On étudie ci-dessous l'évolution de la population de l'Allemagne sur une période plus étendue (à partir de 1990, il s'agit de la population de l'Allemagne réunifiée).

Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous :

Au vu de l'allure du nuage, un ajustement logarithmique semble plus approprié. Pour cela on pose z_i = exp^(i/100) pour 1 < i < 11.

1. Recopier sur la copie et compléter la dernière ligne du tableau ci-dessous (les résultats seront arrondis au centième). »

Le corrigé, en bleu, est obtenu par calculatrice soit en calculant chaque valeur, soit de façon plus automatisée par l'introduction d'une variable L3 (mais attention aux arrondis). Cela étant, on peut s’étonner du choix d’un modèle logarithmique, c’est-à-dire avec limite tendant vers plus l’infini, pour prévoir la population de l’Allemagne pour qui une approximation avec asymptote horizontale à y = 0 serait plus appropriée (taux de fécondité < 1,4)…

« 2. En déduire, en utilisant la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera la réponse sous la forme z = ax + b, les coefficients a et b seront arrondis au centième.

3. En déduire que l'ajustement logarithmique recherché est donné par l'équation y = 100 ln (0,02x+ 2,07).

4. À l'aide de ce nouvel ajustement, donner une estimation de la population de l'Allemagne en 2013 »

Un travail « manuel » oblige à  utiliser la fonction exponentielle. On exécute la même procédure que précédemment mais avec ce dernier tableau. Soit z = 0,02x + 2,07.

Pour la question 3, z est démis de ses fonctions malgré de bons et loyaux services pour être remplacé par son expression e^y/100. On retrouve alors facilement le résultat donné dans l'énoncé. Quant à la dernière question, elle nécessite de remplacer x par 12 qui est le rang de l'année 2013. Soit y = 83,7 millions d’habitants. En n’arrondissant aucun calcul intermédiaire, on trouverait 84,4 millions...

Enfin, le fait d’utiliser l’exponentielle du centième du rang de l’année a un peu déformé la fonction de régression (et donc les prévisions) qu’une technique plus automatique aurait déterminées. Ainsi, Excel ou même la TI-82 STATS (LnReg, choix n° 9 du menu STAT qui donne directement une régression logarithmique) permettent d’obtenir l’équation y = 71,626 ln(x) + 4,648.

Un autre exemple d'ajustement logarithmique figure en page date du point mort.