Calculs d'aires planes
Sur un site web consacré aux techniques utilisées en entreprise et sur les marchés, une page sur les aires semble aussi utile qu’un brise-glace dans le désert de l’Atacama. Pourtant, ces représentations graphiques peuvent très bien avoir des significations économiques (voir pages exemple de surplus, régionnement du plan…) ou statistiques (indice de Gini…).
L'aire d'une surface est la mesure de l'intérieur de cette surface (par opposition au périmètre qui ne mesure que le pourtour).
Voici un panorama sur les calculs d'aires qui débute par un mémo sur les figures géométriques enseignées au collège et qui se termine par l’application des intégrales, enseignées en classe de terminale.
Figure géométriques
L’aire d’un rectangle est égale à la mesure de sa longueur multipliée par celle de sa largeur. Donc celle d’un carré est égale à la mesure de l’un de ses côtés élevé au carré (d’où le nom, évidemment). L’aire d’un triangle est obtenue en multipliant une base avec sa hauteur et en divisant ce produit par 2 (voir aussi la page sur l'aire d'un triangle et la loi des sinus). L’aire d’un disque de rayon \(r\) est \(πr^2.\)
Pour mesurer les aires de la plupart des figures, on a besoin de la notion de hauteur (notée \(h\)) qui est la distance entre un point situé sur le périmètre et un autre point situé lui aussi sur le périmètre mais perpendiculairement au premier. Ci-dessous, les hauteurs sont indiquées par les flèches bleues.
Si le triangle est équilatéral, sa hauteur mesure \(\frac{1}{2}x \sqrt{3},\) donc l’aire s'établit à \(\frac{1}{4} x^2 \sqrt{3}.\)
Exemple d’exercice (niveau seconde). La figure ci-dessous se présente comme un grand carré de côté 8. À l’intérieur se trouvent un petit carré de côté \(x\) et un triangle quelconque dont un sommet est confondu avec l’angle du petit carré. Ces deux figures figurent en rouge, le reste du grand carré étant bleu. Quelle valeur doit prendre \(x\) pour que les aires rouge et bleue soient égales ?
L’aire rouge doit être égale à \(8 × 8 × \frac{1}{2} = 32.\) L’aire du triangle vaut \((8 - x) × 8 × \frac{1}{2}\) soit \(32 - 4x\) et celle du petit carré \(x^2.\) Ainsi nous posons \(32 = x^2 + 32 - 4x.\) Il s’ensuit que \(x^2 - 4x\) doit être égal à zéro. Factorisons. \(x(x - 4) = 0.\) Donc soit \(x = 0\) (possibilité rejetée), soit \(x = 4\) (qui est l'unique solution).
Autres domaines
En classe de première, les calculs d’aire font intervenir des équations du second degré ou des suites qui permettent d’appréhender certaines curiosités, y compris des formes au périmètre infini mais dont la surface est bornée. La détermination d'aires minimales ou maximales sous contrainte fait intervenir la notion de dérivée (voir les exercices d'optimisations d'aires).
Sans figurer expressément dans le programme, la formule de l’aire du triangle avec le sinus peut vous apparaître à la faveur d'un exercice : soit l’angle d’un point \(A,\) noté \(Â,\) et les longueurs des deux côtés limités par \(A\) (donc \(b\) et \(c\)). Eh bien figurez-vous que l’aire du triangle est égale à \(0,5bc \sinÂ.\)
Intégrales
L’aire délimitée par une ou deux courbes représentatives de fonctions sur un intervalle \([a\,;b]\) dans un plan repéré se calcule à l'aide des intégrales de ces fonctions (si l'on connaît leurs expressions algébriques et si l'on peut les intégrer, bien sûr).
Pour décrire grossièrement l'opération, cela revient à additionner des bâtons verticaux très fins entre deux abscisses \(a\) et \(b\) sur toute la surface mesurée (entre \(x_a\) et \(x_b\)). Le résultat est exprimé en unités d'aire (u.a.), c'est-à-dire en carreaux de \(1 × 1.\)
Ci-dessous, la partie hachurée représente l'ensemble des points compris entre l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation \(x = -3\) et la courbe représentative de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = (x^2 - 3x + 1) e^x\) (extrait de sujet de bac S, France métropolitaine septembre 2001). Réalisation sur Sine qua non. Chaque carreau représente une u.a. Approximativement, le résultat n'est pas loin de 4,5.
Une calculatrice graphique permet d'ailleurs d'affiner ce résultat. Ci-dessous avec une TI-83 (saisir l'expression de la fonction puis touche calculs, choix 7. On entre les limites basse et haute, soit -3 et 0).
Si une aire doit mesurer une surface entre deux courbes, on l'obtient par différence. Exemple : à partir du graphique ci-dessous, comment déterminer l’aire en bleu située entre les courbes sur l'intervalle \([a\,;c]\) sachant que les courbes se croisent au point d'abscisse \(b\) ?
Réponse :
\[\mathscr{A} = \int_a^b {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx + \int_b^c {(g(x) - f(x))dx} } \]
Un calcul d’aire nécessite donc l’étude du signe d’une fonction. S’il s’agit comme ici d’une aire entre deux courbes, il est évident qu’il faut d'abord déterminer laquelle se situe au-dessus de l'autre et, le cas échéant, en quel(s) point(s) les deux fonctions s’égalisent (ce qui peut nécessiter un appel au théorème des valeurs intermédiaires). Voir aussi l'exemple de la page sur la relation de Chasles.
Représentations statistiques
Une représentation graphique sous forme de surface est un moyen commode de visualiser l'importance d'une sous-population. C'est le principe des histogrammes, des diagrammes circulaires et même parfois de graphes d'évolution (voir par exemple la page suivi de la masse salariale). Toutefois, la problématique est inverse car on part d'une mesure connue pour la représenter graphiquement. L'aire mesure aussi la surface qui représente une probabilité sous une courbe de densité de probabilité.
