Sphères et boules : généralités et exercices
Cette page présente succinctement les notions voisines de sphère et de boule, étudiées au collège et qui peuvent ressurgir au détour d'un exercice en classe de seconde. Ensuite viennent des exercices d’application.
Présentation
Situons-nous dans un espace à trois dimensions. Soit une distance \(r\) partant d’un point unique \(O.\) L’ensemble des points \(M\) situés à cette distance \(r\) de \(O\) forme une sphère. Donc \(OM = r.\) L’ensemble des points \(M\) tels que \(OM \leqslant r\) constitue une boule.
Ainsi une boule est une sphère pleine. Ou si vous préférez, la sphère est une balle de ping-pong tandis que la boule est un ballon en mousse.
Aire et volume
L’aire d’une sphère de rayon \(r\) se calcule avec la formule \(\mathscr{A} = 4\, \pi\, r^2.\)
Le volume d’une boule de rayon \(r\) est \(\mathscr{V} = \frac{4 \times \pi \times r^3}{3}\)
Repérage sur une sphère
Voir le repérage dans l’espace (sphère terrestre).
Sections
La section d’une sphère est un cercle. La section d’une boule est un disque.
Exercice 1
Une boule de centre \(O\) et dont le rayon mesure 5 m est coupée par un plan. La coupe forme un disque dont le centre \(A\) se situe à 3 m de \(O.\) Quelle est la distance entre \(A\) et un point \(B\) appartenant à la fois à la surface de la boule et au plan ?
Exercice 2
(D'après un extrait de l’épreuve du brevet des collèges, métropole, juin 2016)
Antoine crée des objets de décoration avec des vases, des billes et de l’eau colorée. Pour sa nouvelle création, il décide d’utiliser le vase et les billes ayant les caractéristiques suivantes :
| Caractéristiques du vase |
| Matière : verre Forme : pavé droit Dimensions extérieures : 9 cm × 9 cm × 21,7 cm Épaisseur des bords : 0,2 cm Épaisseur du fond : 1,7 cm |
| Caractéristiques des billes |
| Matière : verre Forme : boule Dimension : 1,8 cm de diamètre |
Il met 150 billes dans le vase. Peut-il ajouter un litre d’eau colorée sans risquer le débordement ?
Note : dans l'énoncé du brevet, les schémas du vase et d’une bille étaient joints et la formule du volume de la boule était rappelée.
Corrigé 1
Une figure nous oriente vers la propriété de Pythagore.
\(AB\) est le rayon du disque qui est la section de la boule.
Le triangle \(AOB\) est un triangle rectangle en \(A.\)
D’après le théorème de Pythagore, nous avons l’égalité \(OB^2 = OA^2 + AB^2\)
Donc \(AB^2 = 5^2 - 3^2\)
\(⇔ AB^2 = 25 - 9\)
\(⇔ AB^2 = 16\)
\(⇔ AB = 4\) (puisqu'une distance est positive)
La distance entre le point \(A\) et un point \(B\) est de 4 m. En d’autres termes, la section de la boule a un rayon de 4 mètres.
Corrigé 2
L’intérieur du vase a pour dimensions une base de \((9 - 0,4) × (9 - 0,4),\) soit un carré de 8,6 cm de côté et une hauteur de \(21,7 - 1,7\) \(=\) \(20\) cm.
Le volume de l’intérieur du vase est donc de \(8,6 × 8,6 × 20\) \(=\) \(1479,2\) cm³.
Si le diamètre d’une bille mesure 1,8 cm, son rayon s’établit à 0,9 cm.
Volume d’une bille :
\[\mathscr{V} = \frac{4 \times \pi \times 0,9^3}{3} = 0,972\,\pi\]
Volume du total des billes : \(150 × 0,972 × π\) \(\approx\) \(458\) cm³
Il reste environ \(1479,2 - 458\) \(=\) \(1021,2\) cm³ pour mettre de l’eau, ce qui est suffisant puisqu’un litre équivaut à 1 000 cm³.
