Présentation des trapèzes
Une page consacrée à une figure géométrique connue de tous mais qui, comme tout objet mathématique, recèle certainement quelques mystères.
Qu’est-ce qu’un trapèze ? C’est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles. On les appelle les bases du trapèze. Habituellement, on ajoute la condition de convexité car on considère qu’un nœud papillon n’a rien de trapézoïdal.
Diversité
Cas particulier : un trapèze rectangle possède deux angles droits (il ne peut pas en avoir un seul). Il n’a pas d’axe de symétrie. Exemple ci-dessous (réalisé avec GeoGebra).
Le trapèze isocèle possède, lui, un axe de symétrie. Ses côtés non parallèles ont la même longueur. Ainsi, les angles adjacents à une même base sont égaux. Quant aux diagonales, elles ont la même mesure. Si un trapèze isocèle est un parallélogramme, alors c’est un rectangle.
Les autres trapèzes sont quelconques (les pauvres !).
Aire
L’aire d’un trapèze est égale au produit de sa hauteur et de la moyenne des longueurs de ses deux bases.
Exemple : quelle est l’aire du trapèze \(PQRS\) ?
Les bases sont \(PQ\) et \(SR.\) Soit \(PQ = 7\) et \(RS = 10.\) Hauteur \(= 2.\)
\(\mathscr{A} = 2 \times \frac{7 + 10}{2} = 17\)
En page d'exercice sur le trapèze (niveau terminale) vous pouvez réinvestir cette belle formule.
Le théorème du trapèze
Dans un trapèze, les milieux des bases et les intersections des diagonales sont alignés (diagonales à l’intérieur du trapèze mais aussi intersection des droites qui prolongent les côtés non parallèles).
Voir une figure et un exercice de géométrie analytique en page théorème du trapèze (niveau classe de seconde).
Question : soit un trapèze isocèle. Comment tracer son axe de symétrie avec une règle non graduée ?
Réponse : on trace ses diagonales (ci-dessous en bleu) puis on relie les deux points d’intersection (en rouge).
Barycentre
Soit un trapèze de bases \(a\) et \(b\) et de hauteur \(h.\) Son barycentre (centre de gravité) est situé sur la médiane qui joint les deux bases (c’est logique puisqu’elle partage le trapèze en deux aires égales). Sa distance à la base \(a\) est donnée par la formule suivante :
\[\frac{h}{3} \times \frac{{{\rm{longueur\;de}}\;a + 2 \times {\rm{longueur\; de}}\;b}}{{{\rm{longueur\; de}}\;a + {\rm{longueur\; de}}\;b}}\]
Comment placer géométriquement le barycentre d’un trapèze ? Tracer la médiane qui relie les deux bases (ci-dessous en violet) et tracer une diagonale de façon à faire apparaître deux triangles. Tracer leurs médianes pour placer leurs centres de gravité respectifs. Relier ceux-ci par une droite (ci-dessous en vert). L’intersection de celle-ci avec la médiane du trapèze est le point recherché (en rouge).
