t et loi de Student
La variable aléatoire (v.a) de Student n'est pas signifiante pour tous ses utilisateurs. On se sert d'elle sans vraiment savoir d'où elle vient ni pourquoi. Essayons d'éclaircir ce mystère.
Utilité
Comment savoir si un résultat observé est suffisamment significatif pour qu'on puisse lui accorder du crédit ?
Imaginons. Un fabricant affirme que ses ampoules durent en moyenne 1 000 heures. On teste dix ampoules et on obtient une durée de vie moyenne de 950 heures.
Peut-on en conclure que le fabricant se trompe ? Non. Avec seulement dix ampoules, la différence de 50 heures peut être due au hasard de l'échantillonnage.
Pour répondre à cette question, on compare deux choses :
- l'écart observé entre la moyenne de notre échantillon et la moyenne annoncée,
- l'incertitude liée au fait que nous n'avons testé que dix ampoules.
La statistique t mesure le rapport entre ces deux éléments.
Au-delà de cet exemple, on peut lister les types d'ananlyse qui utilisent ce t :
- Comparaison de moyennes : test sur un échantillon par rapport à une norme, test sur deux échantillons indépendants et test sur échantillons appariés.
- Test de significativité des cofficients d'une régression (voir plus bas).
- Construction d'intervalles de confiance.
Statistique de Student
Ainsi, William Sealy Gosset, alias Student, a conçu une combinaison de deux v.a pour en obtenir une troisième.
- Au numérateur se trouve une v.a qui suit la loi normale centrée réduite. C'est la différence entre un paramètre de l'échantillon (ici, la moyenne) et celui qui serait attendu. Appelons-la \(Z.\)
- Au dénominateur figure la racine carrée d’une autre v.a, indépendante de la première, qui suit quant à elle une loi du khi² à \(n\) degrés de liberté (ddl) divisée par la racine carrée de l’effectif de l'échantillon \(n.\) Notons \(X_n\) notre deuxième.
\(T_n\) est la v.a de Student.
\(\displaystyle{T_n = \frac{Z}{\sqrt{\frac{X_n}{n}}}}\)
Eh bien cette statistique suit une loi de Student à \(n\) ddl.
Loi de Student
C’est une loi de probabilité continue dont la fonction de densité a une expression algébrique un peu compliquée. Pour une fonction à \(n\) degrés de liberté, on a :
\(\displaystyle{f(x)={\frac{\Gamma\left(\frac{n + 1}{2}\right)}{\sqrt{\pi n}\, \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1 + \frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}}}\)
\(\Gamma\) est la fonction gamma d'Euler.
Exemple de courbe avec 5 ddll, réalisée avec ggplot2 de R :
Vous trouverez d'autres tracés en page de loi de Student, ainsi que les caractéristiques de cette loi. Quant au script qui a permis de réaliser cette courbe, il se trouve au bas de cette page.
Pourquoi ne pas utiliser la loi normale ? Parce que la formule de sa fonction de densité ne fait pas intervenir la taille de l'échantillon alors que celle-ci est bien prise en compte au dénominateur du t. Cela dit, plus \(n\) est grand et plus la distribution du t se confond avec celle de la loi normale centrée réduite. Les queues de ditributions s'affinent. On devine dès lors que cette loi sera particulièrement utile pour l’étude de petits échantillons pour lesquels la loi normale ne s'applique pas.
Régressions
Cette statistique est particulièrement employée pour évaluer individuellement la qualité des coefficients de régression linéaire simple ou multiple (pour cette dernière, voir les tests sur paramètres de régression). Le nombre de degrés de liberté est alors \(n - k - 1\) (\(k\) étant le nombre de variables explicatives).
Le t est aussi utilisé pour estimer si le coefficient de corrélation est significativement différent de zéro.
Table
Les valeurs prises par la loi de Student sont tabulées. Bien que les logiciels vous dispensent d'utiliser la table, vous pouvez éventuellement en avoir besoin. Peut-être même souhaitez-vous la construire vous-même en moins d'une minute ? Apprenez comment réussir cet exploit en page de table du t de Student.
Annexe
Script R ayant permis de tracer le courbe de densité :
curve(dt(x, df = 5),
from = -4, to = 4,
lwd = 2,
xlab = "Valeur de x",
ylab = "Densité de probabilité",
main = "Loi de Student à 5 degrés de liberté")
abline(h = 0, col = "gray")
- dt(x, df = 10) calcule la densité de Student pour 5 degrés de liberté.
- from = -4, to = 4 fixe l'étendue de l'axe horizontal.
- lwd = 2 augmente l'épaisseur du trait.
- xlab, ylab et main définissent les textes du graphique.
