Si vous ne possédez pas de bac scientifique ou si vous n’avez pas étudié les mathématiques au cours d’études supérieures, vous ignorez peut être qu’il existe des nombres complexes et imaginaires. Quoique, si les chiffres ne sont pas votre tasse de thé, vous devez penser que c’est l’ensemble des mathématiques qui est complexe et qui se situe dans un monde imaginaire !

Certains problèmes concrets ne peuvent être résolus par de « vrais » nombres. Démunies, les mathématiques qui reposaient sur les réels font un pas de plus dans l'abstraction et se tournent alors vers des nombres qui n'existent pas, en l'occurrence le monde des complexes et des opérations qu’ils permettent. Évidemment, ces nombres n'apparaissent que dans les étapes INTERMÉDIAIRES de résolution d'un problème de mathématiques appliquées...

Le nombre magique qui enfantera les nombres complexes est sobrement appelé i. Il est égal à la racine carrée de -1 (je rappelle au passage que sur l’ensemble des réels une racine carrée ne peut pas être négative). Donc, i² = -1.

Il s'ensuit la règle suivante, pour tout p étant un entier naturel...

i^4p = 1, i^4p+1 = i, i^4p+2 = -1 et i^4p+3 = -i.

Ce fameux i, multiplié à un réel, transforme celui-ci en imaginaire pur, élément de l’ensemble I. Donc, R ∩ I = Ø.

Et que font ces réels et ces imaginaires, cette matière et cette antimatière ? Ils s’associent ! Et pour donner quoi ? Des nombres complexes, composés d’une partie réelle et d’une partie imaginaire. Donc, C = R ∪ I.

Un complexe s’écrit alors sous la forme z = x + yi. Cette forme d’écriture est dite « algébrique » ou cartésienne. La partie réelle, c’est-à-dire x, est notée Re (z) et la partie imaginaire y est notée Im (y). Deux complexes sont égaux à la double condition que leurs parties réelle et imaginaire soient les mêmes.

Ces nombres peuvent être représentés dans un plan souvent appelé complexe (ou d'Argand) qu’il ne faut pas confondre avec le plan en deux dimensions qui croise abscisses et ordonnées.

Toujours très terre-à-terre, l’axe horizontal est celui de la partie réelle tandis que l’axe vertical s’élève dans l’imaginaire. Le vecteur M(z) est appelé image du nombre z, z étant l'affixe (nom féminin) de M. Il est pratique d'utiliser une autre forme d'écriture, cette fois-ci vectorielle : z = (x , y).

Conjugaison

Un nombre complexe z = x + yi possède un conjugué égal à x – yi. Le conjugué de z s'écrit avec une barre au-dessus et se prononce « z barre ». Illustration :

Si un complexe est égal à son conjugué, sa représentation graphique se trouve sur l’axe horizontal et c’est tout simplement… un réel. En revanche, z est un IMAGINAIRE PUR si (et seulement si) son conjugué est égal à l’opposé -z. Il est représenté sur l'axe vertical. Vous l'aurez deviné, la somme d'un complexe et de son conjugué est égale à 2 Re(Z). Quelques autres propriétés peuvent être présentées :

Il découle de tout ceci que les règles de géométrie sont bien utiles pour savoir manipuler les complexes (voir page complexes et calcul vectoriel).

Les opérations

L'ensemble des complexes muni des lois de compositions bien connues (addition et multiplication) est le corps commutatif (C, +, ×).

L’addition ne pose pas de difficulté insurmontable : si z = 1 + 3i et si z’ = 2 – 5i, alors z + z’ = 3 – 2i.

La multiplication est aisée mais plus retorse : zz’ = (xx’ – yy’) + i(xy’ + x’y). Pour continuer avec le même exemple :

Remarque : il n'existe pas de relation d'ordre > ou < dans l'ensemble des complexes, pas davantage que de nombres positifs ou négatifs...

Autre remarque : si un trinôme ne possède aucune racine réelle (discriminant négatif), il peut en admettre des complexes (voir page racines d'un trinôme).

Toute cette théorie est bien jolie mais où trouver des exercices d'initiation ? En page exercices sur complexes, pardi !

Pour conclure : ce n’est pas à ce niveau d’étude introductif que l’on trouve une utilité opérationnelle aux nombres complexes en économie. C’est généralement sous leur forme polaire qu’ils sont utilisables, notamment dans l’établissement de certaines prévisions.