Si vous ne possédez pas de bac scientifique ou si vous n’avez pas étudié les mathématiques au cours d’études supérieures, vous ignorez peut être qu’il existe des nombres complexes et imaginaires. Quoique, si les chiffres ne sont pas votre tasse de thé, vous devez penser que c’est l’ensemble des mathématiques qui est complexe et qui se situe dans un monde imaginaire…

Certains problèmes concrets ne peuvent être résolus par de « vrais » nombres. Démunies, les mathématiques qui reposent sur les réels font un pas de plus dans l'abstraction et se tournent alors vers des nombres qui n'existent pas, en l'occurrence le monde des complexes et des opérations qu’ils permettent. Évidemment, ces nombres n'apparaissent que dans les étapes intermédiaires de résolution d'un problème de mathématiques appliquées...

Le nombre magique qui enfantera les nombres complexes est sobrement appelé i. Il est égal à la racine carrée de -1 (je rappelle au passage que sur l’ensemble des réels une racine carrée ne peut pas être négative). Donc, i² = -1.

Ce fameux i, multiplié à un réel, transforme celui-ci en imaginaire pur, élément de l’ensemble I. Donc, R ∩ I = Ø.

Et que font ces réels et ces imaginaires, cette matière et cette antimatière ? Ils s’associent ! Et pour donner quoi ? Des nombres complexes, composés d’une partie réelle et d’une partie imaginaire. Donc, C = R ∪ I.

Un complexe s’écrit alors sous la forme z = x + yi. Cette forme d’écriture est dite « algébrique ». La partie réelle, c’est-à-dire x, est notée Re (z) et la partie imaginaire y est notée Im (y).

Ces nombres peuvent être représentés sur un plan souvent appelé complexe (ou d'Argand) qu’il ne faut pas confondre avec le plan en deux dimensions qui croise abscisses et ordonnées.

Toujours très terre-à-terre, l’axe horizontal est celui de la partie réelle tandis que l’axe vertical s’élève dans l’imaginaire. Le vecteur M(z) est appelé image du nombre z, z étant l'affixe (nom féminin) de M. Il est pratique d'utiliser une autre forme d'écriture, cette fois vectorielle : z = (x , y).

Un nombre complexe z = x + yi possède un conjugué égal à x – yi. Illustration :

Si un complexe est égal à son conjugué, sa représentation graphique se trouve sur l’axe horizontal et c’est tout simplement… un réel. En revanche, z est un imaginaire pur si (et seulement si) son conjugué est égal à l’opposé -z. Il est représenté sur l'axe vertical. Vous l'aurez deviné, la somme d'un complexe et de son conjugué est égale à 2 Re(Z).

Il découle de tout ceci que les règles de géométrie sont utiles pour manipuler les complexes (voir page complexes et calcul vectoriel).

Les opérations

L'ensemble des complexes muni des lois de compositions bien connues (addition et multiplication) est le corps commutatif (C, +, ×).

L’addition ne pose pas de difficulté insurmontable : si z = 1 + 3i et si z’ = 2 – 5i, alors z + z’ = 3 – 2i.

La multiplication est aisée mais plus retorse : zz’ = (xx’ – yy’) + i(xy’ + x’y). Pour continuer avec le même exemple :

Le calcul d’inverse s'en déduit et le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués (idem pour le quotient). Quant aux puissances :

Allez, un dernier exercice. Celui-ci est extrait de l’épreuve du bac S de juin 1999 (Asie) :

Pour tout nombre complexe Z, on pose P(Z) = Z⁴  – 1.

a - Factoriser P(Z)

Question facile si l’on se souvient des identités remarquables. P(Z) = (Z – 1)(Z + 1)(Z² + 1).

b - En déduire les solutions dans l’ensemble C des nombres complexes de l’équation P(Z) = 0, d’inconnue Z :

On voit que les solutions sont {- 1 ; 1 ; - i ; i}.

c - Déduire de la question précédente les solutions dans C de l’équation d’inconnue z :

Si l’on remplace la fraction par une variable auxiliaire Z, on obtient Z⁴ = 1, c’est-à-dire Z⁴ – 1 = 0. La question précédente nous a permis d’affirmer que les solutions sont -1, 1, i et - i. Pour peu que z soit différent de 1 et Z différent de 2, on a :

On exprime z en fonction des quatre valeurs connues de Z. Si Z = -1, alors z est nul. Si Z = 1, alors z = -2. Si Z = i, c’est un peu plus compliqué :

Et lorsque Z = -i, on obtient le conjugué de ce nombre.

Remarque : il n'existe pas de relation d'ordre > ou < dans l'ensemble des complexes, pas davantage que de nombres positifs ou négatifs...

Autre remarque : si un trinôme ne possède aucune racine réelle (discriminant négatif), il peut en admettre des complexes (voir page racines d'un trinôme).

Pour conclure : ce n’est pas à ce niveau d’étude introductif qu’on trouve une utilité opérationnelle aux nombres complexes en économie. C’est généralement sous leur forme polaire qu’ils sont utilisables, notamment dans l’établissement de certaines prévisions.