Pour le commun des mortels, les nombres complexes, qui possèdent une partie imaginaire, semblent constituer une élucubration située à l’opposé des mathématiques appliquées. Il est vrai qu’hormis les opérations algébriques simples, les notions statistiques et les calculs d’intérêts, les mathématiques constituent une planète qui s’éloigne au fur et à mesure qu’on avance dans sa carrière.

Pourtant, les complexes sont utilisés dans le cadre de prévisions cycliques. Et ces prévisions sont bien utiles car toute entreprise vit au rythme d’une saisonnalité et de cycles économiques. Bref. La page que je vous présente ici apparaît comme l’un des premiers épisodes des aventures de nos amis les complexes et de leurs prouesses opérationnelles.

La forme trigonométrique (polaire)

Le nombre complexe z peut être défini de deux façons. La première est algébrique et se présente sous forme de coordonnées d’un plan complexe dont l’axe horizontal représente la partie réelle alors que la composante imaginaire se situe sur l’axe vertical.

La seconde façon consiste à employer des coordonnées polaires, c’est-à-dire la longueur du vecteur et son angle par rapport à l’axe horizontal. Il est évident que ça revient au même. Bien que cette forme paraisse moins simple, c’est celle qui permet de magnifiques développements.

La longueur s’appelle le module. Noté r ou rhô (ρ), c’est un nombre positif et on le présente comme la valeur absolue du complexe z. Donc, ρ = |z|.

Il possède quelques charmants attraits : le module des produits est égal au produit des modules, soit |z| . |z’| = |zz’|, et idem pour l’inverse et pour le quotient. De plus, |zⁿ| = |z|ⁿ.

L’angle est nommé l’argument, soit arg z. Dans une formule, on préférera la lettre grecque thêta (qui a toujours fait un malheur dans l’appellation des angles). Les coordonnées polaires se présentent sous une forme vectorielle z = (ρ,θ) ou sous une forme trigonométrique : z = ρ(cos θ + i sin θ).

Illustration.

Les propriétés des arguments sont les suivantes (pour les novices, un moyen simple de s’en souvenir est de faire un parallèle avec les propriétés des logarithmes), pour z et z’ deux complexes non nuls :

arg (zz’) = arg z + arg z’ (2π) et arg (zⁿ) = n arg z (2π). Entre autres...

Et surtout, la formule de Moivre :

Très utile : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ.

Réciproquement, (cos θ – i sin θ)ⁿ = cos nθ – i sin nθ.

On le devine sans difficulté, le lien entre coordonnées polaires et algébriques est réalisé par le théorème de Pythagore. Le module est une distance.

La forme exponentielle

Une formule qui établit un lien entre les complexes, la trigonométrie et l’exponentielle est la suivante :

C’est la formule d’Euler. Lorsque θ = π, on obtient l’identité d’Euler qui la plus belle formule de toutes les mathématiques, réunissant les cinq nombres les plus remarquables :

Dans le même ordre d'idée, on a aussi e^2iπ = 1... Et la formule d’Euler permet de simplifier  la notation trigonométrique en une notation exponentielle, ramassée et percutante comme un slogan publicitaire :

Je sais, je sais, ça fait beaucoup de formules. Mais c’est fini pour cette fois…

Passons à un exercice, extrait du bac STI de 2004 (GC, GEN, GM), Nouvelle-Calédonie.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π / 2. (...) On appelle b le nombre complexe suivant :

Écrire b (...) sous la forme re^iθ, où r est un nombre complexe positif et θ un nombre réel.

Nous cherchons donc la notation exponentielle (la dernière formule dont je vous ai gratifié). Quel est le module du nombre b ? Remontons un peu plus haut pour trouver l'équation du module applicable à la forme algébrique du complexe. Ici, nous aurons...

Remplaçons b et |b|. On obtient alors :

Faisons le lien avec la forme trigonométrique. Il apparaît que :

C'est en π / 4 (2π) que sinus et cosinus sont égaux (voir page trigonométrie). Donc, b = 2 e^iπ/4.

Vous avez mal compris ? Précipitez-vous en bas de page racines d'un trinôme pour voir un autre exemple...