Il est fréquent d’entamer un programme de mathématiques du supérieur par la théorie des ensembles. Non pas en raison de ses applications pratiques, bien sûr, mais parce que la notion d'ensemble est une notion primordiale et accessoirement parce qu'elle permet d'introduire des notations qu’on retrouve au détour de quelques chapitres de mathématiques et de statistiques. Alors, si ce petit mémo peut vous aider…

Les ensembles

Il s’agit de réunions d’éléments. Mathématiquement, un panel est un ensemble d’autant d’éléments qu’il contient de panélistes. Un ensemble vide se note « Ø » et lorsqu’il n’existe qu’un élément, c’est un singleton. Le nombre d'éléments est le cardinal de l'ensemble (par exemple, le cardinal d'une fonction constante est égal à 1). Le signe d’appartenance d’un ou plusieurs éléments à un ensemble est « ∈ ». Si plusieurs ensembles sont constitués des mêmes éléments, ils sont tout simplement égaux.

En général, un ensemble est désigné par une lettre majuscule (E, bien souvent). À moins qu'il ne s'agisse d'un ensemble numérique usuel noté par une lettre (voir ci-dessous), on le définit en indiquant entre accolades soit la liste de ses éléments (agrémentée de points de suspension si elle est trop longue), soit celle de leurs propriétés (séparées par des barres verticales). À titre d'exemple, l'ensemble infini des fonctions paires à une variable peut s'écrire :

Une ensemble inclus dans un autre est un sous-ensemble. Concrètement, un échantillon constitue un sous-ensemble d'une population. Le signe d’inclusion d’un sous-ensemble dans un ensemble est « ⊂ ». De nombreuses démonstrations utilisent l'inclusion pour montrer que deux ensembles sont égaux (A ⊂ B et B ⊂ A).

Des sous-ensembles disjoints auxquels appartiennent tous les éléments de l’ensemble forment une partition.

Aux sous-ensembles appartiennent des éléments de même nature. Par conséquent, on ne dit pas qu'un graphe est un ensemble comprenant un sous-ensemble de sommets et un autre d'arêtes mais plutôt que c'est un couple d'ensembles. G = { S , A }.

Toutes les possibilités offertes par un ensemble définissent ses parties. Prenons l’exemple d’une société S possédant trois agences : Paris (P), Bruxelles (B) et Lyon (L).

Les parties sont P(S) = Ø ; {P} ; {B} ; {L} ; {P, B} ; {P, L} ; {B, L} ; {P, B, L}.

L’ordre n’a aucune importance. La paire {P, L} peut aussi bien s’écrire {L, P}.

Les opérations sur les ensembles

Les éléments qui appartiennent à plusieurs ensembles ou sous-ensembles en constituent l’intersection (notée « ∩ » et lue « inter »). Si les ensembles n’ont aucun élément commun, ils sont disjoints.

La réunion d’ensembles est notée « ∪ » (lue « union »). Cette notation est abondamment utilisée en théorie des probabilités.

Là encore, l’ordre est indifférent : A ∪ B ∪ C = C ∪ (A ∪ B), etc.

Lorsqu'on signifie l'intersection ou la réunion de plusieurs ensembles, on ne s'amuse pas à les citer tous mais on place en tête de liste le signe adéquat en grand format. Si F est une famille d'ensembles, on peut avoir :

Une partie d’un ensemble E qui n’appartient pas au sous-ensemble A est appelée le complémentaire de A et se note souvent avec une barre au-dessus.

Pour clore cette visite touristique au pays des ensembles, voyons la notion de différence (notée « \ »). La différence des parties A et B est l'intersection entre A et le complémentaire de B. Par exemple, A \ B = Ø équivaut à dire que A ⊂  B. La différence symétrique, notée Δ, est l’ensemble (A ∪ B) \ (A ∩ B). Donc, A Δ Ø = A et A Δ A = Ø.

À ce niveau, les exercices ne sont jamais très difficiles. On a intérêt à dessiner les diagrammes de Venn pour démêler les situations trop tarabiscotées. À titre d’exemple, la différence symétrique des sous-ensembles A et B se trouve ici en bleu :

Pour plus d'explications :

http://chatbleucom.free.fr/Math/SUP1/Ensembles/modelepage.php?NomPage=Algebre-Ensembles/DifferenceSymetrique/DifferenceSymetrique.php

Les opérations sur les éléments d'un ensemble

Voir la page lois de composition interne

Ensembles numériques

Ce sont des ensembles infinis de nombres. Ils peuvent être représentés par autant de droites sur lesquelles les nombres sont positionnés, du plus petit à gauche au plus grand à droite (espaces à une seule dimension).

Les entiers naturels (N = {0, 1, 2, 3…}). Positifs ou nul, ils comptent ce qui est dénombrable, comme les termes d’une suite, des observations statistiques discrètes...

Une somme d’éléments discrets est formalisée par un sigma majuscule (Σ).

Les entiers relatifs (Z), qui comprennent les entiers naturels et les négatifs. Donc, N ⊂ Z.

Les nombres rationnels (Q), positifs ou négatifs, qui existent sous forme de fractions d’entiers. Le nombre de décimales peut être infini (exemple : ⅓). Z ⊂ Q.

Les réels (R), qui ne s’écrivent pas forcément sous forme de fraction (auquel cas on les appelle des irrationnels, par exemple : π). Donc Q ⊂ R. R est un ensemble indénombrable.

Le plan euclidien est le produit cartésien de l'ensemble R par lui-même.

Les complexes (C).

Lorsque l’un de ces ensembles exclut le zéro, on affuble son symbole d’un astérisque.

L'ensemble de définition d'une fonction numérique est un sous-ensemble de l'un des ensembles numériques vus ci-dessus, une fonction pouvant très bien ne pas être définie partout. Dans R, des fonctions comme la racine carrée ou la fonction logarithme, par exemple, n'existent pas pour les nombres négatifs et une fonction rationnelle n'existe pas si son dénominateur est nul.