Cette page a le bon goût de montrer les étapes de résolution des équations trigonométriques qui utilisent les angles associés (les formules d’addition ou de duplication ne sont pas nécessaires sur ces exemples). Son niveau est celui d’une classe de première scientifique.

Il existe une procédure commune : d’abord une simplification de l’écriture (éventuellement) puis la résolution d’une équation trigonométrique élémentaire (sin = sin ou cos = cos) et enfin la vérification que les solutions ne sont pas redondantes. Les équations élémentaires reposent sur les égalités entre cos x et cos (-x) et entre sin x et sin (π – x).

Dans toute cette page, k est un entier relatif quelconque.

La forme sin x = λ ou cos x = λ

Certaines valeurs de λ ne nécessitent que la connaissance du cercle trigonométrique. Elles s’expriment généralement à l’aide de π.

Exemple : résoudre l'équation cos (2x) = (√3) / 2 sur ]-π ; π].

On doit exprimer √3 / 2 en fonction d’un cosinus. On sait que c’est cos (π / 6) et cos (-π / 6) qui correspondent au cahier des charges (pour ne prendre que les mesures principales). Si l’on ne connaît pas le cercle ou si la valeur cherchée est trop bizarre, on utilise la fonction trigonométrique réciproque avec la calculatrice (mode radians). En l’occurrence, cos^-1 (√3 / 2) ≈ 0,5236, c’est-à-dire π / 6. Bref, chemin faisant, nous arrivons aux équations élémentaires :

cos (2x) = cos (π / 6) ou cos (2x) = cos (-π / 6)

2x = π / 6 + 2kπ ou 2x = -π / 6 + 2kπ

x = π / 12 + kπ ou x = -π / 12 + kπ

Ce sont les deux formes de solutions. Si l’on se limite aux mesures principales, on ne relève que 0 et 1 pour valeurs de k. Si k = 0, les solutions sont -π / 12 et π / 12. Si k = 1, elles sont (-π / 12) + π, soit 11π / 12 et (π / 12) + π, soit 13π / 12, autrement dit -11π / 12.

S = {-11π / 12 ; -π / 12 ; π / 12 ; 11π / 12}

Dans les exemples qui suivent, on ne relèvera que les solutions générales (voir la page angles orientés pour les recherches de mesures principales).

La forme sin x = sin y

On sait que le sinus d’un nombre est aussi égal au sinus de π moins ce nombre. Sauf bien sûr si ce dernier est égal à zéro (modulo π), auquel cas la solution est unique et c’est zéro.

Illustration (le sinus se lit sur l’axe vertical) :

Si par exemple on doit résoudre l’équation suivante :

Les solutions sont sous la forme :

Isolons les x.

On obtient finalement :

La forme cos x = cos y

Le cercle ci-dessous illustre l’égalité entre cos x et cos(-x), le cosinus se lisant sur l’axe horizontal :

Exemple. Résoudre cos 3x = cos [(π / 4) – x]

Vous êtes maintenant rompu à la technique. On a 3x qui est égal soit à (π / 4) – x + 2kπ, soit à -(π / 4) + x + 2kπ. On remarque que, k étant quelconque, il est équivalent d'écrire -2kπ ou +2kπ.

Donc, 4x = (π / 4) + 2kπ ou 2x = -(π / 4) + 2kπ et par conséquent x = π / 16 + ½kπ ou x = -(π / 8) + kπ.

La forme cos x = sin y

Le plus simple est de transformer l’équation par une égalité entre deux cosinus en remplaçant le sinus. On utilise pour cela une formule d’angles associés, sin y = cos [(π / 2) – y]. On peut évidemment opter pour une égalité entre sinus mais la résolution est un tout petit peu plus longue.

Après cette première étape, on se retrouve dans le cas de figure précédent.  Il ne me semble donc pas utile d’ajouter un exemple.

Les formes a cos² x + b cos x + c = 0 et a sin² x + b sin x + c = 0

L’astuce consiste à opérer un changement de variable, à résoudre l’équation du second degré et à retenir les solutions comprises entre -1 et 1 (puisqu’un cosinus, comme un sinus, est compris entre ces deux valeurs). Ensuite, on retrouve les types d’équations vus ci-dessus.

Soit l’équation cos² x – 4cos x – 5 = 0

Changement de variable : soit X = cos x. D’où X² – 4X – 5 = 0

On calcule le discriminant, soit b² – 4ac, et il vient 36 c’est-à-dire 6².

Les racines sont X₁ = (4 – 6) / 2 = -1 et X₂ = (4 + 6) / 2 = 5. Cette seconde racine ne peut être la valeur d’un cosinus. Il n’existe donc qu’une solution, X = cos x = -1.

Muni du cercle trigonométrique ou de notre mémoire, voire d’une calculatrice ou d’un logiciel, nous établissons que c’est le cosinus de π qui est égal à -1. Donc la solution est π + 2kπ.