Cette page est consacrée aux lieux de rendez-vous des droites. Il s’agit de points vers lesquels elles convergent de fort loin… Difficiles à trouver ? Non, le niveau de difficulté de cette page est celui d'une première S (bien que désormais hors programme).

Donc, plusieurs droites distinctes sont concourantes si elles sont sécantes en un point commun.

Géométrie dans le plan

Un petit exercice rapide pour introduire le sujet. Nous sommes en présence d’un bon vieux rectangle ABCD.

Il faut montrer que les droites (EF), (GH) et (DB) sont concourantes.

Si vous êtes plutôt habitué aux mathématiques appliquées à la gestion (ce qui justifie votre présence sur ce site…), les démonstrations de géométrie relèvent soit du simple amusement, soit d’un exercice aussi mortellement ennuyeux qu’inutile tellement la tournure d’esprit qu’il faut mettre en œuvre est différente de celles habituellement utilisées. Nous survolerons donc à toute vitesse la façon de résoudre ceci.

Que notre figure soit un rectangle ou un parallélogramme quelconque ne change rien à l’affaire. Le milieu de [BD] en est le centre de gravité, ainsi que le milieu de [GH]. Donc, (BD) et (CH) sont concourantes en ce point. On démontre ensuite que EGFH est un parallélogramme puisque le vecteur EG est égal au quart de AB et idem pour HF, les deux étant de surcroît parallèles et donc que le milieu de [GH] est aussi le milieu de [EF]. Nos trois droites se croisent bien au même endroit.

Il est bien évident que si deux droites non parallèles sont forcément concourantes, cette propriété n’est plus obligatoirement vérifiée s’il y en a trois.

Les propriétés de l'homothétie peuvent être mises à contribution pour démontrer que trois droites sont concourantes.

Géométrie dans l’espace

Il existe toujours plusieurs possibilités pour montrer que des droites sont concourantes. On se passera d’exemple. Une famille de droites formées par les quatre arêtes d’une pyramide est mentalement visualisable par le commun des mortels.

Familles de droites

On se situe maintenant dans un repère, à deux dimensions pour simplifier.

Là aussi, c’est à travers un exercice qu’on appréhendera une étonnante propriété.

Soit un réel m auquel est associée une famille de droites.

(m – 2)y = (m + 4)x + m + 1

Ce qu’il est étonnant, c’est que quelle que soit la valeur de m, toutes les droites de la famille passeront par le même point. Prenons quatre valeurs. Si m = 0, nous avons l’expression de la fonction affine y = -2x – 0,5. Si m = 1, y = -5x – 2. Si m = -2, y = -0,5x + 0,25 et si m = 9, y = (13 / 7)x + (10 / 7).

Les droites représentatives sont tracées avec le logiciel Sine Qua Non :

Et où se situe A, point de rencontre familial ?

Facile, il suffit de retenir les expressions de deux droites et de poser un système de deux équations à deux inconnues. Prenons les deux premières.

On trouve x = -0,5 puis y = 0,5. Ce fameux point A a donc pour coordonnées (-0,5 ; 0,5). Il va de soi qu'on aurait aussi bien pu utiliser les équations CARTÉSIENNES des droites.

Vérifions que A fait TOUJOURS partie de la famille. Dans l'expression générale, on remplace x par -0,5 et y par 0,5. Ce qui nous donne :

(m – 2) × 0,5 = (m + 4) × (-0,5) + m + 1.

En simplifiant l'égalité, on obtient 0,5m – 1 = 0,5m – 1. Quel que soit m, c’est OK.