Les quelques formules de trigonométrie, qui peuvent être trouvées grâce aux propriétés des produits scalaires, constituent des outils mathématiques de référence. Le niveau de difficulté des exercices de cette page est celui d'une première S.

Mais avant les formules, voici quelques angles associés.

Les égalités les plus évidentes à déduire du cercle trigonométrique, voire de la parité des fonctions trigonométriques, sont sin (-x) = -sin x et cos (-x) = cos x.

En outre, cos(π ± x) = -cos x et sin (π – x) = sin x

Bon à savoir aussi, cos(π + x) = -cos x et sin(π + x) = -sin x

D'autres égalités d'angles font le lien entre les sinus et les cosinus :

Des exemples d'utilisation de ces quelques égalités figurent en page équations trigonométriques.

Les formules, à présent. La plus célèbre est :

Formules d’addition :

Les formules de duplication sont bien utiles, notamment dans la détermination d’une dérivée ou d’une primitive :

NB : on les retrouve très facilement avec les formules d'addition. Par exemple, sin 2x = sin(x + x) = ...etc.

Maintenant, nous pouvons envisager quelques petits exercices. Nous nous cantonnerons aux réels. Pour les  calculs avec des nombres complexes, je vous renvoie à la page formes trigonométriques des nombres complexes. Pour les calculs de dérivées, voir la page dérivées de fonctions trigonométriques.

Exercice 1

cos² x – sin² x = 0,5

Corrigé :

Formule de duplication : cos 2x = 0,5

C'est le cosinus de π / 3 + 2kπ qui est égal à 0,5. Donc x = π / 6 + kπ.

Exercice 2

À quoi peut bien être égal l’expression cos 3x + 3 cos x ?

Proposition de corrigé :

Pour employer les formules, on doit manipuler le cosinus de 2x ou d’une somme. La priorité est donc de faire disparaître ce 3x disgracieux…

cos 3x + 3 cos x = cos (2x + x) + 3 cos x

On peut alors utiliser la première des formules d’addition.

cos 3x + 3 cos x = cos 2x cos x – sin 2x sin x + 3 cos x

Faisons intervenir les deux formules de duplication.

= (cos² x – sin² x)cos x – 2 cos x sin x sin x + 3 cos x

=  cos³ x – sin² x cos x – 2 sin² x cos x + 3 cos x

= cos³ x – 3 sin² x cos x + 3 cos x

Supprimons les sinus grâce à la première formule (soit sin² = 1 – cos² x).

= cos³ x – 3(1 – cos² x) cos x + 3 cos x

= cos³ x – 3 cos x + 3 cos³ x + 3 cos x = 4 cos³ x

Exercice 3

Montrer que sin² (a + b) + cos² (a – b) = 1 + sin 2a + sin 2b.

Proposition de corrigé :

On utilise d’abord les formules d’addition dans le premier terme, soit :

(sin a cos b + sin b cos a)² + (cos a cos b + sin a sin b)²

Développons ces identités remarquables.

sin² a cos² b + 2 sin a cos b sin b cos a + sin² b cos² a + cos² a cos² b + 2 cos a cos b sin a sin b + sin² a sin² b

= sin² a cos² b + sin² b cos² a + cos² a cos² b + sin² a sin² b + 4 sin a cos a sin b cos b

Faisons apparaître des sin² a + cos² a pour les remplacer ensuite par 1.

= cos² b (sin² a + cos² a) + sin² b (cos² a + sin² a) + 4 sin a cos a sin b cos b

= cos² b + sin² b + 4 sin a cos a sin b cos b

= 1 + 4 sin a cos a sin b cos b

C’est au tour d’une formule de duplication d’intervenir.

 1 + (2 sin a cos a)(2 sin b cos b)

= 1 + sin 2a sin 2b

Le tour est joué.