La proportionnalité

Proportionnalité, échelle, pourcentage

Notion très « basique », la proportionnalité est abordée dès la classe de sixième et se poursuit au cours des années suivantes. Intéressons-nous aux règles de calcul et à quelques applications…

La problématique

Il y a proportionnalité entre deux grandeurs lorsque les valeurs de l'une sont obtenues en multipliant celles de l'autre par un même nombre.

Soit le tableau suivant :

Le coefficient de proportionnalité est le nombre que l'on multiplie aux valeurs de la première ligne pour obtenir celles de la seconde. Ici, il s’agit de \(\frac{8}{3}.\) On n’utilise pas de valeur approchée.

Si l’on sait qu’il y a proportionnalité, il suffit d’une seule colonne pour connaître le coefficient. On peut donc déterminer la valeur d'une grandeur à partir de la valeur correspondante de l'autre grandeur. C’est le calcul d’une quatrième proportionnelle. La technique est appelée règle de trois :

\(10 × \frac{7}{4} = 17,5\)

Vous avez compris l'astuce : pour passer de 4 à 7, il faut multiplier 4 par \(\frac{7}{4}.\)

Et inversement…

\(35 × \frac{4}{7} = 20\)

Les applications de la proportionnalité sont infinies. Par exemple, si un plan est à l’échelle \(1 / 8\,000\) et que, sur ce plan, une rue mesure 4 cm, alors dans la réalité elle mesure…

32 000 cm, c’est-à-dire 320 mètres.

Ce nombre peut aussi être obtenu en posant une équation. C’est le fameux produit en croix.

Ainsi, \(4 × 8\,000 = 1 × x\)

Même logique pour le pourcentage. Il s’agit d’appliquer un coefficient de proportionnalité au nombre 100. Exemple : quel pourcentage représente 25 par rapport à 80 ?

\(25 × 100 = 80 × x\)
\(⇔ x = \frac{2\,500}{80} = 31,25.\)

25 représente \(31,25\%\) de 80.

Le mouvement d’un mobile est appelé mouvement uniforme si le temps \(t\) du parcours est proportionnel à la distance \(d\) parcourue. Le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la durée à la distance est nommé vitesse moyenne \(v.\) Ainsi, \(d = v × t.\)

L'échelle d'une carte n'est autre que la proportionnalité entre les distances réelles et celles de leur représentation.

En géométrie, une aire n’est pas proportionnelle à une longueur. Par exemple, un carré de \(x\) de côté présente une surface de \(x^2.\) Il n’y a pas de proportionnalité. En revanche, son périmètre est égal à \(4x.\) Il y a bien proportionnalité, avec un coefficient de 4. Sans oublier le coefficient bien connu \(π\) qui, multiplié au diamètre d'un cercle, donne sa circonférence.

Graphiquement, on peut représenter une situation de proportionnalité. Cette représentation est construite à partir d'un tableau à deux lignes. On place des points dans un plan repéré dont les coordonnées sont les valeurs de la première ligne (abscisses) et de la seconde (ordonnées). On remarque que ces points sont toujours parfaitement alignés. Ils sont également alignés avec l’origine puisque quel que soit le coefficient de proportionnalité qui s'applique à zéro, la valeur obtenue est zéro.

Ces points peuvent être reliés par une droite (ou une demi-droite) qui représente une proportionnalité donnée pour toutes les valeurs possibles.

Cette relation est nommée fonction linéaire.

Un exemple

L’équation de la fonction est \(f(x) = 1,4x\)

Ci-dessous, réalisation sur GeoGebra :

Exercice

Le prix de la location d’une voiture est constitué d’une partie fixe de 40 euros (quelle que soit la durée de location) à laquelle s’ajoute 50 euros par jour. Combien coûte la location pour 7 jours ? Et pour 14 jours ? Le prix est-il proportionnel à la durée de location ?

Corrigé

Pour 7 jours, la location coûte \(40 + (7 × 50)\) soit 390 €.

Pour 14 jours, la location coûte \(40 + (14 × 50) = 740\) €.

Dans le premier cas, le coefficient de proportionnalité est de \(\frac{390}{7}\) pour passer de la durée de location au prix (soit environ 55,7). Dans le second cas, le coefficient est de \(\frac{740}{15},\) soit \(\frac{148}{3}\) (environ 49,3). Le prix n’est donc pas proportionnel à la durée de la location.