Quelques petits rappels, d’abord sur l’ensemble des réels, puis sur celui des nombres complexes.

Dans le monde des réels

Un trinôme, ou polynôme du second degré, a pour expression ax² + bx + c avec a ≠ 0 (si b et c sont nuls, il devient « monôme du second degré de coefficient a »).

Quand on doit résoudre une équation dans laquelle se trouve un second degré, c'est-à-dire ax², on commence par la poser sous forme d'un trinôme qui est égal à zéro.

Exemple : 3x² + x + 2 = 3x + 1 devient 3x² – 2x + 1 = 0.

Il peut exister une, deux ou aucune solution.

Le polynôme doit être factorisé. La résolution de l'équation nécessite donc de connaître la valeur qui annule l'un des deux facteurs. Cette factorisation requiert soit de passer par l'étape de la forme canonique, soit le calcul, plus pratique, du discriminant, noté Δ (delta majuscule).

La formule de ce dernier est au programme des classes de première, toutes filières confondues. C'est le fameux Δ = b² – 4ac.

S’il est négatif, l'équation n'admet aucune solution. S'il est nul, il en existe une seule. S'il est positif, l'équation admet deux solutions qu'on appellera x₁ et x₂ et qui sont les racines du trinôme.

Évidemment, lorsque le discriminant est nul, on obtient ce qu'on appelle une racine double :

Le polynôme factorisé s’écrit a(x – x₁)(x – x₂).

Comme vous l’avez deviné, si Δ est nul, on a a(x – x₀)², auquel cas la factorisation aurait tout simplement pu être effectuée en utilisant une identité remarquable, sans utiliser Δ. En revanche, pas de factorisation si ce dernier est négatif (du moins tant qu’on se situe dans l’ensemble des réels) et le signe du trinôme est celui de a. C'est la cas de notre exemple 3x² – 2x + 1.

Une inéquation, c'est-à-dire la recherche du signe du trinôme, requiert la connaissance d'une autre considération : son signe est le contraire de celui de a pour tout x situé entre les racines et du même signe sur les intervalles gauche et droite.

Et ce n’est pas tout !

Il se trouve que (-b / a) est égal à la somme des deux racines et que (c / a) est égal à leur produit. Lorsqu’on exécute les calculs à la main, c’est un moyen bien pratique de les vérifier. Ah ! la magie des maths !

Exercice. Déterminer le signe de P = x² + 2x – 8.

Corrigé. On pose x² + 2x – 8 = 0 et on calcule le disciminant Δ = 2² – 4(1 × -8) = 36. Comme 36 est positif, il existe deux solutions. La racine carrée de 36 étant 6, donc un entier, les solutions ne sont pas trop alambiquées.

En appliquant les formules, on trouve x₁ = (-2 – 6) / 2 = -4 et x₂ = (-2 + 6) / 2 = 2.

Vérification : -b / a est égal à -2 et c'est bien la somme des deux racines. c / a est égal à -8 et c'est bien le produit des deux racines.

Forme factorisée : P = (x – 2)(x + 4)

Conclusion, P est nul si x est égal à -4 ou à 2. Entre ces deux valeurs, il est négatif puisque a = 1 qui est un nombre positif. Par exemple, si x = 0, P = -8. En revanche, il est positif partout ailleurs.

NB : l'étude d'un trinôme a généralement pour cadre l'étude d'une fonction polynomiale du second degré.

Racines complexes

Un nombre complexe z est composé d’une partie réelle a et d’une partie imaginaire b. Il s’écrit z = a + ib, i étant un nombre imaginaire dont le carré est -1.

Un discriminant négatif signifie que l’équation az² + bz + c = 0 admet deux solutions complexes conjuguées dans l'ensemble C des complexes :

Voyons sans plus attendre un exemple, tiré de l’épreuve du bac STI (GE, GET, GO) de décembre 2004, Nouvelle-Calédonie.

Dans l’ensemble C des nombres complexes, résoudre l’équation d’inconnue z : 2z² + 10z + 25 = 0. Écrire les solutions de cette équation sous la forme re^iθ, où r est un nombre réel positif et θ un nombre réel.

La première partie de la question réclame une simple application des formules ci-dessus. Le discriminant est égal à 10² – (4 × 2 × 25) = -100.

La deuxième partie aurait davantage sa place en page forme polaire des complexes mais je la traite pour le fun. Calculons le module de z₁ selon une procédure bien rôdée :

Quel peut bien être l’argument ?

Utilisons la forme trigonométrique. Cette fois, la procédure consiste à partir de z₁ / |z₁|, à en déduire la forme trigonométrique puis à transformer cette dernière en forme exponentielle selon le schéma suivant :

Allez, c’est parti…

On passe à la forme trigonométrique :

Si l’on connaît le cercle trigonométrique, on conclut que θ = 3π / 4 (2π). Par conséquent :