Cercle trigonométrique et triangle rectangle
Les règles de trigonométrie sont fondamentales en mathématiques appliquées. Même certaines techniques statistiques se fondent dessus (les contributions aux axes des ACP font intervenir les cosinus, certaines techniques prévisionnelles utilisent les fonctions circulaires, etc.). Et comme ces applications sont décrites sur ce site, j'ai donc pensé qu’il pourrait être pratique d’avoir à portée de souris quelques règles de base... Radians et angles Un angle se mesure en sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique. Tous les détails en page angles orientés. Le cercle trigonométrique C’est un cercle de centre O et de rayon 1. La longueur de tout arc de cercle étant égale au rayon multiplié par l’angle exprimé en radians, cette mesure vaut ici tout simplement la valeur de l’angle puisqu'elle est multipliée par 1. Deux vecteurs d’origine O forment un angle orienté (ici l’axe des abscisses et la demi-droite rouge).
On voit qu'à l'intérieur du cercle le vecteur rouge OM est égal à un vecteur horizontal (le cosinus) plus un vecteur vertical (le sinus).
La demi-droite rouge coupe une droite verticale (en vert) en un point appelé tangente. Cette droite a pour expression x = 1. La circonférence du cercle trigonométrique est de 2π. On peut donc ajouter ce nombre autant de fois qu’on le souhaite à un sinus, un cosinus ou une tangente, on obtient toujours le même résultat : sin 0 = sin 2π, par exemple. Les valeurs d'angle à connaître (ou tout simplement à déduire du cercle) sont les suivantes :
Le cercle ci-dessous illustre que le sinus de π / 6 est égal à ½ tandis que le cosinus est égal à la moitié de racine de 3. Par définition, les valeurs prises par les sinus et cosinus sont toujours comprises entre -1 et 1.
Quel que soit l’angle α, nous avons tan α = sin α / cos α. La formule à connaître par-dessus tout est l’identité (cos x)² + (sin x)² = 1, qui s’écrit plus couramment cos² x + sin² x = 1. Le cos² est particulièrement utilisé en analyse des données lorsque des angles sont mesurés par rapport à un axe et que l’on raisonne en carrés des distances. Voir aussi les formules d'addition et de duplication. Le cercle trigonométrique permet de deviner de nombreuses identités : par exemple, cos(x + π / 2) = -sin x ou encore sin(π – x) = sin x... Leur connaissance est indispensable pour travailler sur des fonctions trigonométriques ou, plus simplement, lorsqu'on résout des équations trigonométriques. En outre, la mesure d'angle permet de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires... Le triangle rectangle Une autre façon d’aborder sinus et cosinus consiste à explorer un triangle rectangle.
On s’attache à l’angle formé par les côtés qui se rejoignent en A. Comme leurs noms l’indiquent, le côté opposé est celui qui exclut le point A et le côté adjacent est celui qui est borné par lui. Si l’on mesure les trois longueurs et qu’on obtient h pour l’hypoténuse, o pour l’opposé et a pour l’adjacent, on résume ainsi : Sinus = o / h Je vous laisse le soin de faire le lien entre les présentations du cercle trigonométrique et du triangle rectangle… Leurs inverses respectifs sont : Cosécante (cosec) = h / o
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