Exercices corrigés sur la loi normale
La loi normale est tellement utilisée pour modéliser des distributions de résidus ou dans le cadre de tests qu’on en oublierait presque le rôle qu’elle joue dans l’estimation de distributions de variables aléatoires OBSERVÉES. Prenez cette page comme vous voulez : exemples ou exercices corrigés. Les corrigés sont très détaillés.
Exemple 1 (recherche d’une borne d’intervalle)
Une embouteilleuse remplit des bouteilles de 1 litre de rhum. La perfection n’étant pas de ce monde, le contenu n’est jamais de 1 litre pile. Il existe un écart-type qu’on ne peut pas modifier (à moins d’acheter une embouteilleuse plus perfectionnée mais on estime que le jeu n’en vaut pas la chandelle). En revanche, le contenu moyen d'une bouteille est réglable. On a constaté qu'il suit une loi normale dont l’écart-type est de 1,5 centilitre et l’on souhaite qu’au moins \(95\%\) des bouteilles contiennent 99 cl ou plus. Sur quelle contenance régler l’embouteilleuse ?
On commence par s'offrir une bonne rasade de rhum (mais c'est sans obligation) puis on formalise : il s’agit de chercher la valeur de \(X\) telle que \(P(X \geqslant 99) \geqslant 0,95.\)
Si l’on utilise une table de probabilités, le centrage et la réduction s’imposent.
Ainsi, on cherche \(m\) tel que \(P \left(Z \geqslant \frac{m - 99}{1,5} \right) \geqslant 0,95\)
Étape suivante : les tables et les logiciels sont ainsi faits que l’on dispose des valeurs inférieures ou égales. Donc, on change le sens de l’écriture.
\(1- P \left( Z < \frac{m - 99}{1,5} \right) \geqslant 0,95\)
\(\Leftrightarrow P \left( Z < \frac{m - 99}{1,5} \right) \leqslant 0,05\)
On constate sur la table idoine ou sur le logiciel que c’est la valeur de \(Z = 1,645\) qui correspond à \(P(X < 0,95)\) (chiffre à connaître par cœur !). La résolution d’une simple inégalité n’est pas méchante : on règle l’embouteilleuse sur \(m = 101,5\) cl. Cette question est traitée plus simplement en page de loi normale avec tableurs.
Exemple 2 (approximation d’une loi binomiale)
Dans une entreprise, les 50 commerciaux qui travaillent du lundi au vendredi passent en moyenne deux demi-journées par semaine dans des bureaux. Aucun de ces locaux n’est affecté à un commercial en particulier et la probabilité pour chacun d’être présent est la même pour chaque demi-journée de la semaine. Combien doit-on prévoir de bureaux pour que la probabilité d’encombrement soit inférieure à \(5\%\) ?
Nous allons approximer une loi binomiale de paramètres \(n = 50\) et \(p = \frac{2}{10}\) soit 0,2 par une loi normale d’espérance \(np = 10\) et dont l’écart-type est \(\sqrt{npq}\) avec \(q = 1 - p.\) L’écart-type s’établit donc à 2,828.
\(P(X \geqslant 10) > 0,95.\)
Là encore, on se place en territoire centré réduit. On cherche \(m\) tel que \(P \left( Z \geqslant \frac{m - 10}{2,828} \right) > 0,95.\)
C’est donc encore la valeur \(Z = 1,645\) qui doit être supérieure à \(\frac{m - 10}{2,828}.\) D’où \(m > 14,653.\) Il faudrait prévoir 15 bureaux pour satisfaire les conditions qu’on s’est fixées.
Un autre exemple de ce type figure en page de seuil de rentabilité probabilisé.
Exemple 3 (d’après l’épreuve 10 du DECS 1984)
On a observé sur des entreprises le ratio CAF / dettes totales. Si celles-ci sont saines, ce ratio suit une loi normale d’espérance 0,7 et d’écart-type 0,18. Si elles sont défaillantes, ces mêmes paramètres s’établissent respectivement à 0,1 et 0,15. Trouver l’intervalle dans lequel se trouvent \(95\%\) des saines.
Réponse : c’est la valeur 0,9750 que l’on cherche dans la table puisqu’on rejettera \(2,5\%\) des entreprises dont le ratio est trop faible et \(2,5\%\) des entreprises dont le ratio est trop élevé. Comme le sait tout data analyst depuis le berceau, c’est la valeur 1,96 qui correspond à cette limite (contrairement aux deux exemples précédents, on cherche ici un intervalle bilatéral). Cette valeur se trouve dans la table ci-dessous (cellule encadrée).
La borne inférieure est \(0,7 - (1,96 × 0,18),\) soit 0,3472. À première vue, c’est un bon critère de scoring puisque cette valeur est bien supérieure à l’espérance des entreprises défaillantes. La borne supérieure s’élève quant à elle à \(0,7 + (1,96 × 0,18)\) \(=\) \(1,0528.\)
Note : autre exemple d'application à la gestion en page de gestion de stocks et loi normale.
Exemple 4 (exemple théorique d’utilisation de table)
Une variable aléatoire suit une loi normale. \(P(X > 4) = 0,8413\) et \(P(X > 16) = 0,0228.\) Trouver les deux paramètres de la loi à l’aide de la table de la fonction de répartition.
Seules les probabilités supérieures à 0,5 se trouvent dans la table, les autres étant à déterminer par symétrie. Donc, ici, \(P(X \leqslant 16) = 0,9772.\) La lecture est immédiate : en ligne se présentent l’unité et la première décimale, en colonne figure la deuxième décimale. La probabilité cherchée correspond donc à la valeur 2,00.
En revanche, si on lit bien la proba 0,8413 dans la table, elle correspond dans notre exemple à une probabilité d’être dépassée alors qu’une table présente les probabilités d’être INFÉRIEURE à une valeur… Qu’à cela ne tienne, on utilise encore la symétrie de la loi mais pas de la même manière. Si on lit qu’on a une probabilité de 0,8413 de se situer au-dessous de la valeur 1,00, c’est qu’on a une probabilité de 0,8413 de dépasser la valeur -1…
Par conséquent, on obtient un système d’équations qui ne demande qu’à être résolu :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{4 - m}}{\sigma } = - 1}\\
{\frac{{16 - m}}{\sigma } = 2}
\end{array}} \right.\)
L’espérance est égale à 8 et l’écart-type est égal à 4.
