Probabilités au bac technologique
Sur cette page vous est proposé un exercice sur les probabilités conditionnelles. Il s’agit d’un extrait de l’épreuve de maths du bac STMG (centres étrangers, juin 2016). Pour les élèves de terminale technologique il s’agit d’un exercice assez complet sur lequel il est intéressant de s’entraîner (toutefois la question 4 se rapporte à une notion souvent enseignée plus tard dans l’année). Bien sûr vous êtes bienvenu si vous n’êtes pas en terminale technologique. Vous y découvrirez un exercice avec corrigé très détaillé ! Vous pouvez aussi visiter la page d'exercices sur le conditionnement au bac, d'un niveau facile.
Le sujet
Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au millième.
Pour tout évènement \(A,\) on note l’évènement contraire de \(A\) avec une barre au-dessus \((\overline{A})\) et \(p(A)\) la probabilité de \(A.\)
En 2013, le parc automobile français s’élevait à 38,204 millions de véhicules, parmi lesquels on comptait 31,622 millions de voitures particulières, les autres véhicules étant des utilitaires légers ou des véhicules lourds (INSEE). D’autre part on sait que :
\(62\%\) des voitures particulières sont des véhicules diesel ;
Parmi les autres véhicules, \(6\%\) sont des véhicules à essence.
On choisit au hasard un véhicule dans le parc automobile français. On considère les évènements suivants :
\(V\) : « le véhicule choisi est une voiture particulière. »
\(D\) : « le véhicule est un véhicule diesel. »
1- Justifier que la probabilité \(p(V),\) arrondie au millième, est égale à 0,828.
2- Compléter l’arbre de probabilité donné en annexe.
3- a. Calculer la probabilité que le véhicule choisi soit une voiture particulière roulant au diesel.
b. Montrer que \(p(D) = 0,675.\)
c. On suppose que le véhicule choisi roule au diesel. Quelle est la probabilité que ce ne soit pas une voiture particulière ?
4- On choisit au hasard 10 véhicules dans un échantillon du parc automobile français suffisamment important pour assimiler ce choix à dix tirages successifs avec remise. Calculer la probabilité pour qu’exactement trois d’entre eux ne roulent pas au diesel.
Note : une question 5 n’est pas traitée ici. Par ailleurs, nous avons repris le texte de l'énoncé avec des probabilités écrites en minuscules, alors que ce n'est pas l'usage.
Explications détaillées
1- Les calculs de proportion et de probabilité sont les mêmes. Seule change la problématique. Donc vous divisez le nombre de voitures particulières par le nombre total de véhicules, tout simplement.
Et si l’on divise 31,622 par 38,204 on obtient environ 0,827714. Un arrondi au millième, c’est-à-dire à trois chiffres après la virgule, donne bien 0,828.
2- Il faut présenter les pourcentages sous forme de probabilités. Aucune difficulté. À chaque nœud de l’arbre, la somme des probabilités est égale à 1. Donc \(1 - 0,828 = 0,172.\) Si \(62\%\) des voitures particulières sont diesel, alors si l’on obtient l’évènement \(V,\) la probabilité d’obtenir \(D\) est de 0,62 (et on obtient 0,38 par différence avec 1). De même, parmi les autres véhicules, l’énoncé nous informe que \(6\%\) ne sont pas diesel (attention à ne pas confondre \(6\%\) avec 0,6).
3- a. Voiture particulière ET diesel. On s’intéresse à l’intersection entre un ensemble de voitures et un ensemble de véhicules diesel. Sur l'arbre ci-dessus, repérez la branche du haut. Nous allons multiplier la probabilité de choisir une voiture particulière avec celle d’obtenir une diesel SACHANT QUE c’est une voiture particulière (probabilité conditionnelle \(p_V (D)\).
\(p(V \cap D)\) \(=\) \(0,828 \times 0,62\) \(\approx\) \(0,513\)
N’oubliez pas la phrase réponse : la probabilité que le véhicule choisi soit une voiture particulière roulant au diesel est d’environ 0,513 (arrondi au millième).
b. Nous connaissons en partie la probabilité de choisir un diesel (réponse précédente). Il faut ajouter la probabilité de choisir un diesel qui n’est pas une voiture particulière. Nous aurons ainsi tous les véhicules roulant au diesel.
\(p(\overline{V} \cap D)\) \(=\) \(0,172 \times 0,94\) \(\approx\) \(0,162\)
Donc \(0,513 + 0,162\) \(=\) \(0,675.\) La probabilité que le véhicule choisi roule au diesel est de 0,675 (arrondi au millième).
c. La question précédente portait sur les probabilités conditionnelles et l’arbre suffisait pour y répondre. Pour cette question, ce que l’on sait est que le véhicule roule au diesel. Faut-il redessiner un arbre dont le premier niveau serait diesel ou non et le deuxième niveau voiture particulière ou non ? Inutile ! Vous connaissez bien sûr la formule des probabilités conditionnelles (sinon il n’est pas trop tard pour l’apprendre mais dépêchez-vous quand même).
\(p_D(\overline{V})\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{p(\overline{V} \cap D)}{p(D)}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{0,162}{0,675}}\) \(=\) \(0,240\)
Attention à la notation. L’évènement connu figure en indice. Les calculs du numérateur et du dénominateur ont déjà été effectués à la question précédente.
Note : le résultat paraît exact mais il est le quotient de deux arrondis.
Si l’on choisit un véhicule qui roule au diesel, la probabilité que ce ne soit pas une voiture particulière est de 0,240 (arrondi au millième).
4- Question classique sur la loi binomiale. En effet, nous sommes dans la situation d’une expérience aléatoire ayant deux issues possibles (épreuve de Bernoulli) répétée plusieurs fois de façon indépendante (schéma de Bernoulli).
Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de véhicules ne roulant pas au diesel. \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n = 10\) (l’expérience est répétée dix fois) et \(p = 0,325\) (probabilité de succès, soit \(1 - p(D)\).
Il convient donc d’appliquer la formule pour \(X = 3.\) Faites un tour en page loi binomiale à la calculatrice si vous ne savez pas quoi faire de cette formule.
\(p(X = 3)\) \(=\) \({\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
10\\
3
\end{array}} \right)} \times0,325^3 \times (1 - 0,325)^{10-3}\)
\(p(X = 3)\) \(=\) \(120 \times 0,0343 \times 0,0638\) \(\approx\) \(0,263\)
La probabilité d’obtenir exactement trois véhicules ne roulant pas au diesel parmi dix est d’environ 0,263 (arrondi au millième).
