Bon, voici un sujet facile. La loi uniforme est une loi de probabilité très simple puisque c’est celle du pur hasard. Il en existe deux versions, une discrète et une continue.

Loi uniforme discrète

C’est la loi de l’équiprobabilité. S’il existe n éventualités (par exemple 6 dans le cas du jet de dé), la probabilité d’un événement est de 1 / n.

On en déduit aisément que l’espérance de cette loi est de (n + 1) / 2. La variance s’établit quant à elle à (n² – 1) / 12.

Comme on s’intéresse rarement au hasard absolu, du moins en entreprise, cette loi n’a d’intérêt que lorsqu’on lui compare une série d’observations. Voir par exemple la page test de Kolmogorov-Smirnov où l’on confronte une distribution réelle à une distribution uniforme dans le cadre d’une étude de marché. On y teste l’hypothèse H0 que le phénomène observé est dû au hasard.

Loi uniforme continue (ou rectangulaire)

Une loi est uniforme entre un point a et un point b lorsque la densité de probabilité est toujours égale entre ces deux points et nulle ailleurs. L’histogramme ressemble donc à un gros rectangle. La fonction de répartition montre un accroissement linéaire entre a et b. L’espérance est de (a + b) / 2, la variance est de (b – a)² / 12 et le coefficient d'asymétrie est nul.

Là aussi, l’intérêt est de lui comparer une distribution observée dont l’histogramme a des faux-airs de rectangle.

Un phénomène très logique mais pas forcément intuitif est la non-additivité de deux lois uniformes indépendantes (contrairement à ce qu'on observe avec la loi normale). La densité obtenue est alors triangulaire. Si deux lois sont uniformes pour des valeurs de 1 à 6, leur somme ne sera pas uniforme de 2 à 12 ! Au contraire, il y aura peu de 2 et peu de 12 mais beaucoup de 6, l’histogramme montrant alors une forme de triangle (voir les règles de la combinatoire). Avec un dé, il y a équiprobabilité pour obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 mais avec deux dés on a moins de chance d'obtenir 2 (seulement avec 1 + 1) que 6 (combinaisons 1 + 5, 5 + 1, 4 + 2, etc.).

Exemple de test

Je pèse 15 colis. Leurs poids figurent ci-dessous. L’histogramme regroupe les colis par tranche de 1 kg.

Sous H0, on considère que la loi est uniforme.

Les résultats suivants ont été obtenus avec XLSTAT.

Le test unilatéral du khi² montre qu’on ne peut pas rejeter l’hypothèse d’égalité (même si la figure ne ressemble pas tout à fait à un rectangle). Un découpage en 20 classes de même amplitude a été réalisé par le logiciel.

À toutes fins utiles, voici le tableau de comparaison entre fréquences observées et théoriques :