Un incontournable des cours de statistiques, du moins dans l’enseignement supérieur. L’inégalité énoncée par Irénée-Jules Bienaymé n’a que peu d’applications concrètes directes car les conclusions sont trop imprécises mais Pafnouti Tchebychev, dont l’orthographe latine varie au gré des manuels, l’a utilisée pour établir la loi faible des grands nombres. C’est dans le cadre de sa démonstration que l’inégalité est habituellement enseignée.

Statistiques descriptives

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (IBT) lie la moyenne m et l’écart-type s d’une distribution. C’est ce qui en fait un pilier des statistiques.

Ainsi, pour tout réel k > 1, on sait que l’intervalle m ± ks contient une proportion d’observations au moins égale à 1 – (1 / k²).

Exemple (réalisation sur Excel) :

Les valeurs comprises entre ± 1,5 écart-type sont celles qui se situent entre les valeurs 11,57 et 23,66. Selon notre chère inégalité, il doit y en avoir au moins 1 – (1 / 1,5), soit ⅓. Si l’on procède au décompte, on constate qu’il y en a 15 sur 18, soit 0,833. L’IBT est bien vérifiée. Mais on constate par la même occasion qu’elle n’est pas d’une grande précision et donc que son utilité pratique est hélas négligeable…

Remarquons au passage que si k = 1 écart-type autour de la moyenne, on sait juste que l’intervalle contient au moins… zéro observation. Voici un résultat particulièrement inintéressant !

Variable aléatoire discrète

Ce qui est énoncé ci-dessus reste valable si l’on raisonne sur des probabilités.

Si l’on pose k = a / s, on obtient une autre version de l’inégalité (passez par l’événement contraire de la probabilité si vous souhaitez la vérifier)…

Donc, si l’écart-type d’une distribution est connu, on peut choisir k de façon à satisfaire une précision de probabilité fixée.

NB : l’IBT se démontre avec l’inégalité de Markov qui s’énonce ainsi…

Variable aléatoire continue

C’est exactement la même chose sauf qu’on a la joie de pouvoir la démontrer avec une relation de Chasles sur des intégrales généralisées. Ce que je ne ferai pas...

Comparons plutôt les conclusions de l’IBT avec ceux d’une loi normale. Ci-dessous, en première colonne figure le nombre d’écarts-types autour de l’espérance qui sont pris en compte pour dimensionner l’intervalle. La seconde colonne fournit le résultat donné par l’IBT (très simple à réaliser sur tableur) et la troisième est la probabilité d'appartenir à l'intervalle centré selon la loi normale.

NB : l’IBT se vérifie sur toutes les lois de probabilités, sauf bien sûr s’il n’existe pas de variance finie (loi de Cauchy).