Voici la plus connue et la plus utile des lois de probabilité théoriques. Curieusement dénommée loi NORMALE (comme si les autres lois étaient des monstruosités), elle prend aussi le nom du génie Carl Friedrich Gauß (prononcez Gauss).

Elle est la plus célèbre parce qu’elle résume de nombreuses distributions statistiques observées. La représentation graphique de sa fonction de densité, continue et symétrique, a une forme très simple. C’est la fameuse courbe gaussienne, dite « en cloche », même si personnellement je n’ai jamais vu de cloche de cette forme-ci.

Elle est aussi la plus utile parce qu’elle permet l’utilisation de très nombreuses techniques statistiques lorsqu’elle est vérifiée (Cf. théorème central-limite ci-dessous).

Présentation

La majorité des statisticiens ne connaissent pas l'expression de la fonction de densité de probabilité. Mais si je ne l’indiquais pas, ça ne ferait pas sérieux. Alors…

m est l’espérance et sigma (σ) est l'écart-type. Si par exemple la variable aléatoire (v.a) X suit une loi normale d’espérance 10 et d’écart-type 1, on le note comme suit :

Ces deux paramètres suffisent pour résumer une distribution observée. Si l’écart-type est petit par rapport à l'espérance, la courbe de densité ressemble à une légère boursouflure et plus il s’en approche, plus la courbe s’étire en hauteur comme une fleur de datura. Mais il n’est pas pratique d’utiliser cette loi telle quelle pour les prolongements statistiques (intervalles de confiance, vérification d’hypothèses…). On se sert alors de la loi centrée et réduite, c’est-à-dire qu’on utilise une variable auxiliaire :

On obtient alors une nouvelle loi normale dont l’espérance est nulle et l’écart-type est égal à 1. Retirer l’espérance consiste à CENTRER (par translation, la fonction de densité devient paire) et diviser par l’écart-type consiste à RÉDUIRE, c'est-à-dire à normaliser. Les valeurs prises par la fonction de densité de la loi centrée réduite sont indiquées dans des tables, du moins pour les valeurs positives.

L’expression de cette fonction centrée et réduite revêt une ligne plus épurée…

La courbe de densité de probabilité apparaît ainsi (réalisée sur ZSGCalc) :

Elle est symétrique et l’essentiel des probabilités est contenu entre ± 2 écarts-types. Pour être plus exact, et je le précise car cet intervalle est très souvent utilisé, 95 % des valeurs prises par la v.a se trouvent entre plus ou moins 1,96 écart-type autour de la moyenne. C’est ce chiffre de 1,96 qu’on utilise le plus souvent pour déterminer des intervalles de confiance bilatéraux.

Plus l’échantillon est grand, plus certaines lois (y compris discrètes) tendent à ressembler à la loi normale. La loi hypergéométrique et la loi binomiale, notamment… L’utilité apparaît alors, entre autres, dans le cadre d’une comparaison de proportions. Une autre utilisation habituelle figure en page seuil de rentabilité probabilisé.

Nous avons vu que la distribution est symétrique. Cependant, une distribution ASYMÉTRIQUE peut parfois être « normalisée » en utilisant les logarithmes ou les racines carrées.

Des tests d'adéquation permettent de s’assurer qu’une distribution est suffisamment proche de cette loi théorique pour bénéficier de ses nombreux avantages. Ce sont les tests de normalité, qui lui sont spécifiques, éventuellement ceux de Kolmogorov-Smirnov et du khi², ainsi que le test visuel de la droite de Henry.

Propriétés

La loi normale possède des propriétés bienfaisantes.

D’abord, elle est additive : si n v.a indépendantes suivent chacune une loi normale, leur somme en fait de même (contrairement à la loi uniforme, par exemple). Soit deux v.a indépendantes X₁ et X₂ qui suivent deux lois normales caractérisées par des espérances m₁ et m₂ et par des écarts-types σ₁ et σ₂ :

Par ailleurs, la linéarisation d’une v.a X suivant une loi normale conduit également à une v.a Y = aX + b qui suit elle aussi une loi normale. C’est d’ailleurs cette propriété qui permet l'emploi de la version centrée réduite.

Théorème central-limite

Véritable pilier des statistiques, ce théorème énonce que les moyennes d’un grand nombre d’échantillons suivent une loi normale, même si les échantillons suivent individuellement une autre loi. A titre d’exemple, si l’on relève la distribution des salaires dans mille entreprises tirées aléatoirement, il y a peu de chance que certaines d’entre elles présentent de courbe gaussienne car des salaires élevés étirent immanquablement les fonctions de densité sur la droite. C’est pourquoi le salaire moyen ne signifie rien. Pourtant, si l’on trace la fonction de densité des mille salaires MOYENS, il y a fort à parier que cette courbe-ci ressemble à une gaussienne... Plus l’échantillon est grand, moins on a de risque de se tromper, et ceci se vérifie aussi bien pour des v.a discrètes que continues. Seules les situations particulièrement tordues échappent au théorème (type loi de Cauchy).

Ainsi, lorsqu’on est en présence d’échantillons supérieurs à une trentaine d’observations, on utilise la loi normale pour établir les intervalles de confiance lorsqu’on teste des comparaisons de moyennes ou des comparaisons de variances.

Régressions

Il est préférable que les résidus d’une régression simple ou multiple suivent une loi normale. Cette adéquation ne se visualise pas directement car, après avoir trié les résidus par ordre croissant, il faudrait les regrouper en classes et comparer l’histogramme avec une courbe de Gauss. Ceci manque un peu de rigueur. On utilise plutôt les tests de normalité ou la droite de Henry. Une non-normalité des résidus ne remet pas en cause l’équation du modèle mais elle empêche d’estimer les intervalles de confiance des paramètres.

Exemples : voir page exercices corrigés sur la loi normale. Indispensable si vous n'avez pas tout compris de ce que j'ai tenté d'expliquer ici... Et pour une utilisation simple, rendez-vous en page loi normale sur tableurs ou gestion des stocks et loi normale.