Calculer une moyenne arithmétique n’est pas le challenge le plus coriace auquel un statisticien doit faire face.

Bien qu’il existe d’autres moyennes, c’est elle qu’on utilise dans la quasi-totalité des cas lorsque l’on décrit une distribution à une variable.

Moyenne pondérée

Si toutes les observations sont identiquement pondérées, cette moyenne s'obtient par la somme des valeurs observées divisée par l’effectif. Facile. Si les observations ont des poids différents, c’est le produit de chaque poids par la valeur correspondante, divisé par le poids total. La moyenne apparaît donc comme un centre de gravité. Facile aussi.

La moyenne est un indicateur de position centrale, c’est-à-dire qu’elle constitue, avec la médiane, une définition du « milieu » d’une distribution.

Cet indicateur a la propriété d’être linéaire : si une distribution A de moyenne a est combinaison linéaire d’une distribution B de moyenne b,  a est également combinaison linéaire de b. Exemple simple : A = {2 ; 4} avec a = 3 et B = {10 ; 20} avec b = 15. Comme B = 3 fois A, alors b = 3a.

En revanche, la moyenne n’est pas robuste : l’ajout de quelques valeurs aberrantes peut la modifier sensiblement. C’est pourquoi elle ne signifie parfois rien du tout (exemple caricatural : montant moyen des impôts payés par les habitants d'une commune alors que l'un d'eux est milliardaire). Quelquefois, on utilise la moyenne tronquée qui exclut les deux valeurs extrêmes.

Par ailleurs, on peut être amené à calculer une moyenne à partir d’un tableau déjà construit qui indique des fourchettes de valeurs. C’est alors pour chaque classe la moyenne entre les deux bornes que, par convention, on utilise pour le calcul.

L’exemple suivant cumule ces différentes remarques : il montre une moyenne pondérée obtenue à partir de centres de classes d’un tableau déjà construit et qui se révèle inapte à résumer la distribution.

Moyenne d’une fonction continue

Nous avons survolé deux notions de moyennes, toutes deux applicables à un nombre fini d’observations. La moyenne se calcule aussi, dans certains cas, à un nombre infini. La formule permettant de calculer la moyenne d’une fonction continue généralise la formule de la moyenne arithmétique pondérée en utilisant l’intégration :

Exemple emprunté à la session 2007 du bac ES (Pondichéry) :

Un bénéfice, en milliers d’euros, que réalise une entreprise lorsqu’elle fabrique x milliers de pièces est égal à :

Déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie de 2 000 à 4 000 pièces.

On peut résoudre ce problème directement mais les candidats bénéficiaient de plusieurs résultats trouvés en répondant à des questions précédentes. Voyons à quoi ressemble le tableau de variation :

Rappelons que le nombre e est justement compris entre 2 et 4.

D’ailleurs, f(2) = f(4) = 4,733 environ. Le maximum se situe à [(5 / e) + 3] = 4,839. On sait déjà que le bénéfice se trouvera quelque part entre 4 733 et 4 839 €.

Le calcul d’une primitive conduit à F(x) = (5 / 2)(ln x)² + 3x. L’intégrale entre 2 et 4 s’établit à (15 / 2)(ln 2)² + 6, soit 9,603. La moyenne est donc égale à ce nombre multiplié par 1 / (4 – 2), soit 0,5. Le bénéfice moyen s'établit à 4 802 €. Youpi.

Moyenne empirique

Une moyenne calculée sur un échantillon est un estimateur de la moyenne inconnue de toute la population. On la nomme moyenne empirique ou observée.

Espérance mathématique

Tous ces principes sont valables en statistique descriptive mais aussi en statistique probabiliste. Les valeurs prises par une variable aléatoire X observées sur un échantillon sont alors pondérées par des probabilités d’être observées sur une population. Cette moyenne « espérée » est appelée espérance mathématique. Elle est notée E(X).

NB : on ne retrouve pas cette distinction de vocabulaire avec la variance…

Si la loi de probabilité est discrète et qu'il y a n réalisations possibles, l'espérance est formalisée ainsi...

Un ensemble de réalisations infini implique un calcul de limite...

En cas de loi de probabilité continue, l'espérance est déterminée par une intégrale généralisée. Soit f la fonction de densité...

Si l'intégrale diverge, il n'y a hélas aucune espérance...