Suites croissantes, décroissantes et périodiques
Certaines montent, d’autres descendent, d’autres encore vont et viennent… Non, je ne parle ni des actions à la bourse, ni des équipes de foot dans le classement du championnat mais des suites numériques. Définitions Une suite est croissante si un+1 ≥ un, pour tout entier naturel n. Je parie que vous l’aviez deviné, elle est décroissante si un+1 ≥ un. On dit qu’elle est STRICTEMENT croissante ou décroissante si l’inégalité est stricte. Enfin, elle est stationnaire lorsque tous les termes sont les mêmes. Lorsqu’une suite est soit croissante, soit décroissante, elle est monotone (comme toute fonction). Parfois, cette monotonie ne se vérifie qu’à partir d’un certain rang. Une suite arithmétique est toujours monotone. Elle est croissante si sa raison est positive et décroissante si sa raison est négative. Une suite définie par une fonction f est croissante si f l’est aussi et, évidemment, elle est décroissante si c’est le cas de f. En revanche, l’inverse n’est pas toujours vrai comme le montre la fonction f(x) = cos 2πx + 0,2x qui n’est ni croissante ni décroissante, alors que la suite un = cos 2πn + 0,2n est croissante (les valeurs correspondent aux sommets observés pour chaque valeur entière de x sur le graphe ci-dessous).
Mentionnons enfin les suites périodiques. Une suite est de période p si, pour tout n, un+p = un. À titre d'exemple, une suite géométrique de raison -1 est de période 2. Étude Il existe plusieurs techniques pour déterminer un sens de variation. Algébriquement, on peut soit étudier le signe de un+1 – un (exercice 1), soit comparer un+1 / un à 1 si les termes sont positifs (exercice 2). Lorsque la suite est définie par une fonction, on étudie le sens de variation de cette dernière (exercice 3). Enfin, on peut recourir au raisonnement par récurrence (exercice 4). Exercices Ceux-ci sont de niveau bac S ou ES spécialité maths. Exercice 1 : étudier le sens de variation de la suite un+1 = un² – un + 2. Corrigé 1 On a donc un+1 – un = un² – 2un + 2. Faisons apparaître une identité remarquable. un+1 – un = un² – 2un + 1 + 1 = (un – 1)² + 1. Comme un carré est positif ou nul, (un – 1)² + 1 > 0. La suite est strictement croissante. Exercice 2 : étudier le sens de variation de la suite suivante :
Corrigé 2
Développons le dénominateur.
Or, cette expression est supérieure à 1 pour tout n appartenant à N. Donc la suite est strictement croissante. Exercice 3 : étudier le sens de variation de la suite(un) définie par un = n² – 2n – 4. Corrigé 3 Soit une fonction définie sur R+ dont l’expression est f(x) = x² – 2x – 4. Sa dérivée est f’(x) = 2x – 2. On en déduit que la fonction est décroissante jusqu’au point d’abscisse x = 1, après quoi la dérivée est positive et donc la fonction croît. On en conclut que la suite (un) est décroissante jusqu’à n = 1 (on voit bien que u0 = -4 et que u1 = -5), puis qu’elle est croissante. Exercice 4 : prouver que la suite suivante est croissante sur N sachant que u0 = 0 :
Voir le corrigé en page raisonnement par récurrence. Exercice 5 : calculer les premiers termes de la suite définie par u0 = 0 et un+1 = -un + 10. Puis démontrer qu’elle est périodique. Corrigé 5 u0 = 0, u1 = 10, u2 = 0, u3 = 10, u4 = 0, u5 = 10, u6 = 0 (bon, ça suffit comme ça…). Démontrons que cette suite est périodique, de période 2. un+2 = -un+1 + 3 = -(-un + 3) + 3 = un – 3 + 3 = un. Voici une affaire rondement menée.
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