Levées d'indétermination de limites avec quantités conjuguées
Parmi les techniques visant à lever l’indétermination de limites, celle des quantités conjuguées nous permet assez souvent d’arriver à nos fins.
Voici deux exercices. Le niveau est plutôt post-bac mais des élèves de terminale particulièrement brillants peuvent tenter l’aventure…
Énoncés
- Calculer la limite en \(+ \infty\) de \(f(x)\) \(=\) \(\sqrt{x^2 + x + 1} - (x + 1)\) (définie sur \(\mathbb{R}\).)
- Calculer la limite en \(1^+\) de \(g(x)\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x - 1}}}\) (définie sur \(]1\,; +\infty[\)).
Corrigé 1
La limite en \(+ \infty\) de \(f\) est de type\(\frac{\infty}{\infty}.\) Levons l'indétermination.
On ne pense pas forcément aux quantités conjuguées quand la fonction ne se présente pas sous la forme d’un quotient.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\sqrt{x^2 + x + 1} - (x + 1)}\)
\(\displaystyle{= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\frac{[\sqrt{x^2 + x + 1} - (x + 1)][\sqrt{x^2 + x + 1} + (x + 1)]}{\sqrt{x^2 + x + 1} + (x + 1)}}}\)
\(\displaystyle{= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }{\frac{x^2 + x + 1 - (x^2 + 2x + 1)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + (x + 1)}}}\)
\(\displaystyle{= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }{\frac{-x}{\sqrt{x^2 + x + 1} + (x + 1)}}}\)
La forme étant toujours indéterminée, sortons \(x\) du dénominateur pour simplifier la fraction.
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }{\frac{-x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} + x(1 + \frac{1}{x})}}}\)
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }{\frac{-x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} + x(1 + \frac{1}{x})}}}\)
\(\displaystyle{= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }{\frac{-x}{x\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + x(1 + \frac{1}{x})}}}\)
\(\displaystyle{= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }{\frac{-1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + (1 + \frac{1}{x})}}}\)
La limite de l'expression sous radical est égale à 1. Celle de l'autre terme du dénominateur aussi. Donc, par quotient :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {f(x)}\) \(=\) \(-\frac{1}{2}\)
Corrigé 2
Déterminons la limite en 1 à droite de \(g(x)\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{\sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x - 1}}}\)
C'est une forme indéterminée de type \(\frac{0}{0}.\)
L'idée est de faire apparaître \(\sqrt{x-1}\) dans les trois termes du numérateur pour simplifier l'expression en supprimant le dénominateur.
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1+ } {\frac{\sqrt{(x+1)(x-1)} + \sqrt{(x-1)(\frac{x}{x-1})} - \sqrt{(x-1)(\frac{1}{x-1})}}{\sqrt{x-1}}}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1+ } {\sqrt{x+1} + \sqrt{\frac{x}{x-1}} - \sqrt{\frac{1}{x-1}}}\)
Nous obtenons une forme de type \(\sqrt{2} + \infty - \infty.\) Donc, encore indéterminée !
Intéressons-nous aux deux derniers termes. Ils peuvent être réécrits ainsi :
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1+ } {\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x-1}}}}\)
Cette vieille ruse des quantités conjuguées peut-elle nous aider ? Ce n'est pas fréquent, mais c'est au numérateur que nous allons l'appliquer, ceci pour éliminer le radical.
\(\displaystyle{\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x-1}}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x-1})(\sqrt{x}+1)}}\)
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1+ } {\frac{x-1}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x}+1)}} = \;?}\)
Raté ! Encore indéterminé ! Mais on remarque que \(x - 1\) peut s'écrire \((\sqrt{x-1})^2,\) ce qui permettra une simplification de la fraction.
\(\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1+ } {\frac{\sqrt{x-1}\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}(\sqrt{x}+1)}}}\)
\(= \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1+ } {\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}+1}}}\) \(=\) \(\frac{0}{1}\) \(=\) \(0.\)
Donc, si l'on situe ce résultat quelques étapes plus haut...
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1+ } {\sqrt{x+1} + \sqrt{\frac{x}{x-1}} - \sqrt{\frac{1}{x-1}}}\) \(=\) \(\sqrt{2} + 0\) \(=\) \(\sqrt{2}.\)
