Des exercices simples sur primitives

Exercices sur primitives (premières STL et STI2D)

Curieusement, les primitives sont abordées en terminale en filière générale mais en première pour les filières STL et STI2D.

Les exercices ci-dessous sont du niveau première technologique. Bien sûr, ils peuvent aussi convenir aux élèves de terminale au moment où ils abordent le sujet (ensuite, ils seraient un peu trop faciles et il est alors plus adapté de se rendre en pages d’exercices sur primitives pour les maths complémentaires ou de primitives avec fonction exponentielle).

 

Énoncés

1- Déterminer une primitive \(F\) pour les fonctions suivantes définies sur \(\mathbb{R}\) :

  • A- \(f(x) = 2\)
  • B- \(f(x) = x\)
  • C- \(f(x) = -2x\)
  • D- \(f(x) = 4x^3\)
  • E- \(f(x) = 5x - 1\)
  • F- \(f(x) = 2x^2 + 3x - 6\)

2- Déterminer une primitive pour les fonctions suivantes définies sur \(]0\, ;+\infty[\) :

  • A- \(f(x) = \frac{1}{x^2}\)
  • B- \(f(x) = x - \frac{3}{x^2}\)
  • C- \(f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2}\)

3- Vérifier que \(P\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) puis déterminer la primitive qui s’annule pour \(x = 1.\)

  • A- \(f(x) = 3x^2 + 3\) et \(P(x) = x^3 + 3x - 9\)
  • B- \(f(x) = x^3 + x^2\) et \(P(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3\) 

 4- On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(x) = 0,5x +4\)

  • A- Justifier que \(f\) admet des primitives sur \(\mathbb{R}.\)
  • B- Déterminer sa primitive \(F\) qui s’annule pour \(x = -1.\)
  • C- Développer le polynôme \(P = (x + 1)(x + 3)\)
  • D- En déduire les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(F(x) = 0.\)

 

Corrigés

1- La détermination d’une primitive consiste à « dériver à l’envers ». Lorsqu’on cherche UNE primitive, celle-ci comprend une constante notée \(c,\) \(C\) ou \(k\) selon les manuels.

A- \(f(x) = 2\) d'où \(F(x) = 2x + c.\) En effet, \(F’(x) = 2.\)

B- \(f(x) = x\) est un grand classique. \(F(x) = \frac{1}{2}x^2.\) D’une façon générale, si \(f(x) = ax^n\) alors \(F(x) = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c.\) Vous pouvez adopter cette astuce pour les questions suivantes de cet exercice.

C- \(f(x) = -2x\) d'où \(F(x) = -x^2 + c\)

D- \(f(x) = 4x^3.\) Appliquez l’astuce. \(F(x) = x^4 + c\)

E- \(f(x) = 5x - 1.\) Là aussi. \(F(x) = \frac{5}{2}x^2 - x + c\)

F- \(f(x) = 2x^2 + 3x - 6\) donc \(F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 6x + c\)

 

2- Ces trois fonctions comportent l’élément \(\frac{1}{x^2}\) qui est au signe près la dérivée de la fonction inverse. Nos primitives contiendront donc \(\frac{1}{x}.\)

A- \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) donc \(F(x) = - \frac{1}{x} + c.\) En effet, la dérivée d’une fonction \(g\) dont l’expression serait \(g(x) = \frac{1}{x}\) s’avère être \(g’(x) = - \frac{1}{x^2}.\) Comme il s’agit de l’opposée de notre fonction \(f,\) une primitive est l’opposée de \(\frac{1}{x}.\)

B- \(f(x) = x - \frac{3}{x^2}.\) Il s'ensuit que \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{x} + c.\) Là aussi, ne pas oublier de changer le signe devant la fraction.

C- \(f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2}.\) En appliquant les recettes vues plus haut, \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{x}\)

 

3- Quand un énoncé vous demande de vérifier une primitive, il faut la dériver.

A- \(P(x) = x^3 + 3x - 9\) donc \(P’(x) = 3x^2 + 3\) ce qui est bien l’expression de \(f.\) Ensuite, il est demandé de déterminer LA primitive qui s’annule (donc \(= 0\)) pour \(x = 1.\) Il faut donc trouver la constante \(c\) qui satisfait cette condition.

\(F(x) = x^3 + 3x + c\) et \(F(1) = 0.\)
\(F(1) = 1 + 3 + c.\)
\(F(1) = 0\) signifie que \(1 + 3 + c = 0\) et donc \(c = -4\)

La réponse est \(F(x) = x^3 + 3x - 4\)

B- \(P(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3\)  donc \(P’(x) = 4 \times \frac{1}{4} x^3 + 3 \times \frac{1}{3} x^2\) \(=\) \(x^3 + x^2\) \(=\) \(f(x).\)

\(P\) est bien une primitive de \(f.\)

Soit \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + c\)

\(F(1) = 0\)
\(\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + c = 0\)
\(\frac{3}{12} + \frac{4}{12} + c = 0\)
\(\frac{7}{12} + c = 0\)
\(c = - \frac{7}{12}\)

Ainsi \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{7}{12}\)

 

4- \(f(x) = 0,5x +4\)

A- \(f\) est une fonction affine donc elle admet des primitives sur \(\mathbb{R}.\)

B- Pour déterminer cette primitive, vous pouvez remplacer \(0,5\) par l'écriture \(\frac{1}{2}.\) Ce n’est évidemment pas une obligation, mais vous êtes peut-être plus habitué à cette écriture.

\(f(x) = \frac{1}{2}x +4\)
\(F(x) = x^2 + 4x + c\)
\(F(-1) = 0\)
\((-1)^2 + 4(-1) + c = 0\)
\(1 - 4 + c = 0\)
\(c = 3\)

\(F(x) = x^2 + 4x + 3\)

C- Ces deux dernières questions vous permettent de réviser le second degré.

\(P = (x + 1)(x + 3)\)
\(P = x^2 + 3x + x + 3\)
\(P = x^2 + 4x + 3\)

On remarque que \(P = F(x).\)

D- Nous devons résoudre l’équation \(F(x) = 0\). Si nous utilisons la forme développée, nous ne pouvons pas la résoudre, sauf à essayer diverses solutions mentalement. Toutefois, nous savons que \(F(x) = P\) donc \(F(x) = (x + 1)(x + 3)\) et là, tout devient plus simple !

\((x + 1)(x + 3) = 0\)

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

\(x + 1 = 0\) ou \(x + 3 = 0\)
\(x = -1\) ou \(x = -3\)

Les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(F(x) = 0\) sont -1 et -3.

 

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