Équations du second degré dans \(\mathbb{C}\)
Niveau de difficulté de cette page : terminale générale (maths expertes).
En classe de première, vous avez appris à résoudre des équations et inéquations du second degré. Du moins lorsque le discriminant \(\Delta\) était positif car dans le cas contraire, l’affaire était pliée.
Mais à présent, vous évoluez dans une sorte de monde parallèle, celui des nombres complexes. Un monde où tout semble possible. Tout ? pas vraiment ; mais ici il existe des solutions aux équations de degré 2, même lorsque \(\Delta\) est négatif.
Racines complexes
Rappel : pour une équation de type \(ax^2 + bx + c\) \(=\) \(0\) avec \(a,\) \(b\) et \(c\) réels, on a \(Δ = b^2 - 4ac\) (avec \(a \ne 0\)).
Ainsi, dans \(\mathbb{C},\) pour une équation de type \(az^2 + bz + c\) \(=\) \(0,\) nous avons pour solutions deux racines complexes conjuguées :
\(z_1 = \frac{-b + i\sqrt{|\Delta |}}{2a}\) et \(z_1 = \frac{-b - i\sqrt{|\Delta |}}{2a}\)
Notez que \(Δ\) étant négatif, on peut aussi bien écrire \(|Δ|\) que \(-Δ.\)
Ajoutons deux propriétés que l'on retrouve aussi lorsque les racines sont réelles :
\(z_1z_2 = \frac{c}{a}\) et \(z_1 + z_2 = - \frac{b}{a}.\)
Exercices
Exercice 1 (résolution d’une équation de degré 2)
Résoudre l’équation suivante dans \(\mathbb{C}.\) Pour info, elle est extraite de l’épreuve du bac S de juin 2015 (France métropolitaine).
\(z^2 - 8z + 64 = 0\)
Exercice 2 (résolution d’une équation de degré 4)
Cet exercice est extrait de l’épreuve du bac S de juin 1998 (Antilles-Guyane).
- On considère le polynôme \(P\) de la variable complexe \(z\) défini par :
- \(P(z)\) \(=\) \(z^4 + 2 \sqrt{3}z^3 + 8z^2 + 2\sqrt{3}z + 7\)
- 1- a) Calculer \(P(i)\) et \(P(-i).\)
- b) Montrer qu’il existe un polynôme \(Q\) du second degré, que l’on déterminera, tel que :
- pour tout \(z ∈ \mathbb{C},\) \(P(z) = (z^2 + 1)Q(z).\)
- 2- Résoudre dans l’ensemble des complexes l’équation \(P(z) = 0.\)
Exercice 3
Cet exercice est extrait de l'épreuve du bac S de septembre 2018 (Métropole)
- Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \((z^2 - 2z + 4)(z^2 + 4)\) \(=\) \(0.\)
Mais encore...
Vous pourrez compléter ces exercices avec des équations du troisième degré.
Corrigés
Corrigé 1
\(z^2 - 8z + 64 = 0\)
Calculons le discriminant : \(Δ\) \(=\) \(64^2 - 4 × 64\) \(=\) \(-192\)
Il est négatif ; l’équation n’admet pas de solution dans \(\mathbb{R}\) mais elle en admet dans \(\mathbb{C}.\)
\(z_1\) \(=\) \(\frac{8 - i\sqrt{192}}{2}\) \(=\) \(\frac{8 - 8i\sqrt{3}}{2}\) \(=\) \(4 - 4i \sqrt{3}\)
\(z_2\) \(=\) \(\frac{8 + i\sqrt{192}}{2}\) \(=\) \(\frac{8 + 8i\sqrt{3}}{2}\) \(=\) \(4 + 4i \sqrt{3}\)
\(S = \{4 - 4i \sqrt{3}\,; 4 + 4i \sqrt{3}\}\)
Corrigé 2
\(P(z)\) \(=\) \(z^4 + 2 \sqrt{3}z^3 + 8z^2 + 2\sqrt{3}z + 7\)
1- a) \(P(i)\) \(=\) \(1 - 2 \sqrt{3}i - 8 + 2 \sqrt{3}i + 7\) \(=\) \(0\)
\(P(-i)\) \(=\) \(-1 + 2 \sqrt{3}i + 8 - 2 \sqrt{3}i - 7\) \(=\) \(0\)
b) Posons \(P(z)\) \(=\) \((z^2 + 1)(az^2 + bz + c).\) Développons.
\(P(z)\) \(=\) \(az^4 + bz^3 + cz + az^2 + bz + c\)
Identifions.
\(az^4 + bz^3 + cz + az^2 + bz + c\) \(=\) \(z^4 + 2 \sqrt{3}z^3 + 8z^2 + 2 \sqrt{3}z + 7\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1}\\ {b = 2\sqrt 3 }\\ {a + c = 8}\\ {c = 7} \end{array}} \right.\)
Par conséquent : \(P(z)\) \(=\) \((z^2 + 1)(z^2 + 2\sqrt{3}z + 7)\)
2- Un produit est nul lorsqu’au moins l'un de ses facteurs est nul.
Le premier est nul si \(z = i\) ou si \(z = -i\) (vu à la question 1- a).
Pour connaître les racines du second facteur, calculons d’abord le discriminant.
\(Δ = 12 - 4 × 7 = -16\)
Il est négatif. Recherchons les racines du polynôme dans \(\mathbb{C}.\)
\(z_1\) \(=\) \(\frac{-2\sqrt{3} - i\sqrt{16}}{2}\) \(=\) \(-\sqrt{3} - 2i\)
\(z_2\) \(=\) \(\frac{-2\sqrt{3} + i\sqrt{16}}{2}\) \(=\) \(-\sqrt{3} + 2i\)
\(S\) \(=\) \(\{-i\,; i\,; -\sqrt{3} - 2i\,; -\sqrt{3} + 2i\}\)
Corrigé 3
\((z^2 - 2z + 4)(z^2 + 4)\) \(=\) \(0\)
Donc \(z^2 - 2z + 4\) \(=\) \(0\) ou \(z^2 + 4\) \(=\) \(0\)
Dans le premier cas, nous avonc \(\Delta = -12\) donc \(z = \frac{2 + i \sqrt{12}}{2}\) soit \(z = 1 + i \sqrt{3}\) ou, autre solution, \(z = 1 - i \sqrt{3}.\)
Dans le second cas, nous avons \(z^2 = -4\) donc \(z^2 = (2i)^2.\) Ainsi \(z = 2i\) ou \(z = -2i.\)
L'équation admet quatre solutions. \(S\) \(=\) \(\{-2i\,; 2i\,; 1 - i \sqrt{3}\,; 1 + i \sqrt{3}\}\)
