Polynômes et démonstrations dans \(\mathbb{C}\)
Les polynômes sont incontournables des programmes de maths, même au collège (bien que le terme ne soit pas employé avant le lycée). Cette page balaie ce que vous devriez savoir sur un polynôme au moment du bac, depuis la seconde jusqu'à la terminale générale maths expertes.
Définitions
Le nom « polynôme » vient du grec polus (nombreux) et nomos (division, portion).
Un polynôme se présente comme une somme de monômes. D’accord mais qu’est-ce qu’un monôme ? C’est une expression algébrique composée d’un seul terme, en l’occurrence une variable \(x\) affectée d’une puissance entière positive (éventuellement nulle) et d’un coefficient constant qui la multiplie. Par exemple, \(3x^2\) est un monôme (nous n’aborderons pas le cas de monômes de plusieurs variables, de type \(ax^ny^p\)).
Ainsi un polynôme s’écrit de la façon suivante, pour tout \(x ∈ \mathbb{R}\) avec \(a_n ≠ 0\) et \(n ∈ \mathbb{N}\) :
\(P(x)\) \(=\) \(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x + a_0\)
Ceci est la forme développée de \(P(x).\) Elle est ordonnée, c’est-à-dire que les termes sont présentés en ordre décroissant des puissances. Ainsi, la puissance la plus élevée apparaît en début d’expression. C’est le degré du polynôme. Par exemple, \(P(x) =x^7 - x^2\) est un polynôme de degré 7.
Remarque : un monôme peut être considéré comme un polynôme particulier.
En principe, les polynômes sont présentés sous forme de fonction. On parle de fonction polynôme ou polynomiale. Si elle est de degré 0, c'est une fonction constante. De degré 1, c’est une fonction affine (ou éventuellement linéaire). De degré 2, on parle de trinôme.
Théorème : un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Un corollaire est que deux polynômes sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux.
On dit qu’un nombre \(x_0\) est une racine du polynôme \(P\) si \(P(x_0) = 0.\) Cette notion est particulièrement importante.
Le nombre maximal de racines qu’admet un polynôme de degré \(n\) est \(n.\)
Nous avons vu la forme développée mais un polynôme peut apparaître sous d’autres formes. Notamment par factorisation. Par exemple, le polynôme \(a^2 + 2ax + x^2\) peut être factorisé en \((a + x)^2.\)
Classes de seconde et de première
En classe de seconde, on aborde les polynômes de degré 2 avec les identités remarquables. C’est ainsi que l’on peut factoriser certains polynômes présentés sous forme développée. En l’absence d’autres outils, la plupart des polynômes sont donnés sous une forme déjà factorisée ou avec des indications qui permettent de le faire. C’est avec les formes factorisées que l’on résout les équations du second degré (théorème du produit nul) ainsi que les inéquations (avec leurs inévitables tableaux de signes). La fonction carré et la fonction cube qui sont au programme permettent aussi de manipuler les polynômes (voir par exemple l'exercice sur fonction de degré 2). Les racines sont visualisables sur les représentations graphique (valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe représentative coupe l’axe des abscisses).
En classe de première générale, on apprend à factoriser un trinôme dans \(\mathbb{R}\) grâce au discriminant. En l’occurrence, il doit être positif car s’il est négatif aucune racine n’existe dans \(\mathbb{R}.\) Dans le tronc commun des premières technologiques, on factorise en connaissant au préalable l’une des deux racines ou on les détermine à partir de la représentation graphique de la fonction (parabole…).
On travaille aussi sur la forme canonique du trinôme.
La classe de première est aussi celle où l’on aborde la dérivation des fonctions polynomiales. Pour les premières technologiques, voir la dérivée d’une fonction de degré 2 et la dérivée d’une fonction de degré 3.
Notez qu’un degré 2 ou plus peut aussi faire l’objet d’exercices sur les suites (voir le sens de variation des suites).
Les primitives sont étudiées en première STI2D et STL et en terminale spécialité maths.
Racines non réelles
Si le discriminant d’un trinôme est négatif, alors celui-ci n’admet pas de racine réelle. Mais il en admet des complexes !
C’est en terminale générale maths expertes que l’on aborde les nombres complexes, ouvrant la voie à la factorisation de tout polynôme. D’abord de degré 2 (voir les racines complexes) puis de tout polynôme par un facteur \(z - a\) donné, \(a\) étant une racine.
La formule est la suivante :
\(z^n - a^n\) \(=\) \((z - a)(z^{n-1} + z^{n-2}a + z^{n-3}a^2 + …+za^{n-2}+ a^{n-1}).\)
\(⇔ z^n - a^n = (z - a) \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{z^{n - 1 - k}}{a^k}} \)
Par exemple, \(z^3 - 1\) \(=\) \((z - 1)(z^2 + z + 1)\)
Cette formule est utilisée en page de résolution d'équations du troisième degré.
La démonstration est particulièrement simple puisqu’il suffit de développer la forme factorisée. Après avoir procédé à la double distributivité, on s’aperçoit que la plupart des termes s’annulent et qu’il ne reste que \(z^n - a^n.\)
Un polynôme \(P\) de degré \(n\) peut être factorisé par \(x - a\) si l’on peut écrire \(P(x) = (x - a)Q(x)\) avec \(Q(x)\) polynôme de degré \(n-1.\) Pour que cette factorisation soit possible, il faut que \(a\) soit une racine. Certes, l’opération n’est pas toujours possible dans \(\mathbb{R}\) mais elle l’est dans \(\mathbb{C}.\) C’est pourquoi ce théorème n’est vu et démontré qu’en classe de terminale maths expertes.
Soit \(P(z)\) \(=\) \(α_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + … + α _1z + a_0\) avec, comme il se doit, \(n ∈ \mathbb{N}\) et \( α_k ∈ \mathbb{R}.\)
\(a\) étant racine, \(P(a) = 0.\) Donc \(P(z) = P(z) - P(a).\)
Après soustraction et élimination de \(+ α_0\) et \(- α_0\) on obtient :
\(P(z)\) \(=\) \( α_nz^n + α_{n-1}z^{n-1} + … α_1z - α_na^n - …- α_1a\)
En factorisant par les coefficients nous pouvons écrire :
\(P(z) = \sum\limits_{k = 1}^n {{a^k}({z^k} - {a^k})} \)
Or nous avons vu qu’un polynôme de type \(z^k - a^k\) pouvait être factorisé par \(z - a.\)
\({z^k} - {a^k} = (z - a)A(z)\)
Donc \(P(z) = \sum\limits_{k = 1}^n {{\alpha _k}(z - a)A(z)} \)
\(P(z)\) \(=\) \(α_1(z - a)A_1(z) + … +α_n(z - a)A_n(z)\)
\(⇔ P(z)\) \(=\) \((z - a)[(α_1A_1(z) + … + α_nA_n(z)]\)
Donc \(P(z) = (z - a)Q(z)\)
