La dérivée d'une fonction polynomiale

Dérivation d'une fonction polynôme

Niveau de difficulté de cette page : première générale.

Si vous savez dériver une fonction de degré 2 et une fonction de degré 3, vous avez certainement une idée pour dériver n’importe quelle fonction polynomiale.

 

À savoir

Trois règles sont à connaître.

  1. La première, c’est que si l’on dérive \(x^n\) on obtient \(nx^{n-1}.\)

  2. La deuxième est qu’une fonction dont l'expression est de type \(f: x \mapsto u(x) + v(x)\) a pour dérivée \(f'\) d’éxpression \(f'(x) = u'(x) + v'(x).\)

  3. La troisième règle est que si l’on multiplie une fonction par un réel \(k,\) c’est-à-dire si une fonction se présente sous forme \(f(x) = ku(x),\) alors sa dérivée est \(f'(x) = ku'(x).\)

Et voilà. Avec ça, rien ne peut entraver votre passion de dériver les fonctions polynomiales.

Ensuite, souvenez-vous qu'après avoir déterminé le signe d'une dérivée, on en déduit le sens de variation de la fonction. Si sur un intervalle la dérivée est positive alors la fonction est croissante sur cet intervalle et si elle est négative la fonction est décroissante (voir la page sur le lien entre signe de dérivée et sens de fonction).

 

Prenons un exemple

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)\) \(= x^4 + 3x^3 + 0,5x^2 + 2x - 1.\)

Comme la deuxième règle nous le permet, nous pouvons dériver les termes les uns après les autres.

Reprenons la première règle pour dériver \(x^4.\) C’est bien sûr \(4x^3.\)

Pour dériver \(3x^3,\) nous utilisons la première règle mais aussi la troisième. La dérivée est \(3 × 3x^2,\) donc \(9x^2.\)

Et ainsi de suite (abrégeons, vous êtes à présent en mesure de terminer).

Par conséquent, \(f'(x)\) \(= 4x^3 + 9x^2 + x + 2.\)

Remarque : la dérivée PERD UN DEGRÉ. Si par exemple une fonction est de degré 5, sa dérivée est de degré 4.

Vous voici fin prêt pour affronter les épreuves les plus redoutables. Ci-dessous est présenté un extrait d'épreuve du bac STMG (Pondichéry avril 2014). Pour information, la page d'exercice sur fonctions de degré 2 reprend elle aussi un extrait de bac STMG. Vous pouvez aussi faire l'exercice sur dérivée d'une fonction de degré 3, relativement facile.

 

Exercice

On considère la fonction g définie sur \([-3\,; 2]\) par \(g(x) =\) \((x - 1)^2 (x + 3)\)

a. Vérifier que \(g(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3.\)

b. Calculer \(g'(x),\) \(g'\) étant la dérivée de la fonction \(g.\)

c. Résoudre l’équation \(3x^2 + 2x - 5 = 0.\)

Étudier le signe de \(g'\) sur l’intervalle \([-3\,; 2].\) En déduire le tableau de variation de la fonction \(g.\)

 

Corrigé commenté

a. Développons l’expression \(g(x)\) \(= (x - 1)^2 (x + 3)\)

Occupons-nous d’abord de développer l’identité remarquable.

\(g(x) = (x^2 - 2x + 1)(x + 3)\)

Distribuons.

\(g(x) = x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 6x + x + 3\)
\(\Leftrightarrow g(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3\)

b. Il est plus rapide de dériver la forme développée que la forme factorisée.

\(g'(x) = 3x^2 + 2x - 5\)

c. Remarquez que la réponse à la question précédente apparaît dans le premier membre de l’équation.

Résolvons \(3x^2 + 2x - 5 = 0\)

Nous devons d’abord calculer le discriminant. Pour une expression de type \(ax^2 + bx + c,\) il est égal à \(b^2 - 4ac.\)

En l’occurrence, \(\Delta = 2^2 - 4 × 3 × (-5) = 64.\)

\(\Delta > 0,\) le polynôme admet donc deux racines.

\(x_1\) \(=\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\frac{-2-8}{2 \times 3}\) \(=-\frac{10}{6}\) \(= -\frac{5}{3}\)

\(x_2\) \(=\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) \(=\frac{-2+8}{2 \times 3}\) \(=\frac{6}{6}\) \(= 1\)

Le signe de \(g'\) revient à étudier le signe de ce polynôme du second degré ; \(g'\) est du signe de \(a\) (donc positif) à l’extérieur des racines et du signe contraire de \(a\) (donc négatif) à l’intérieur des racines.

Par conséquent, \(g\) est croissante sur l’intervalle \([-3\,;-\frac{5}{3}],\) décroissante sur \([-\frac{5}{3}\,; 1]\) puis à nouveau croissante sur \([1\,; 2].\)

Quatre images de \(x\) doivent figurer dans le tableau de variation.

\(g(-3) = (-4)^2 × 0 = 0\)

\(g(-\frac{5}{3}) = [(-\frac{5}{3}) - 1]^2 [(-\frac{5}{3}) + 3]\)
\(\Leftrightarrow g(-\frac{5}{3}) = [-\frac{5}{3} - \frac{3}{3}]^2 [-\frac{5}{3} + \frac{9}{3}]\)
\(\Leftrightarrow g(-\frac{5}{3}) = (-\frac{8}{3})^2(\frac{4}{3})\)
\(\Leftrightarrow g(-\frac{5}{3}) = (\frac{64}{9})(\frac{4}{3})\)
\(\Leftrightarrow g(-\frac{5}{3}) = \frac{256}{27}\)

\(g(1) = (1 - 1)^2 (1 + 3) = 0\)

\(g(2) = (2 - 1)^2 (2 + 3)\)
\(g(2) = 5\)

Ce qui nous conduit à dresser un ravissant tableau (réalisation avec le logiciel Sine qua non) :

tableau de variation

 

froid