Fonctions polynomiales à une variable dans \(\mathbb{R}\)
D'abord un avertissement : le texte qui suit fait parfois référence à des notions vues en terminale générale et même au-delà. Donc dirigez-vous en page d'exercice sur fonction du second degré si vous êtes en seconde ou sur les pages d'initiation au second degré, de la dérivée d'une fonction du second degré si vous êtes en première générale, ou encore vers les paraboles, les fonctions du troisième degré et la dérivée d'une fonction du troisième degré ainsi que les problèmes avec fonctions de degrés 2 et 3 si vous êtes en première technologique. La page sur la dérivée d'une fonction polynomiale et l'exercice sur fonctions de degré 2 s'adressent aux élèves de première générale mais aussi des terminales technologiques. Pour la terminale générale, rendez-vous en page de primitives des fonctions polynomiales.
Fonctions polynomiales
Un type de fonction à une variable relativement simple à étudier est la fonction polynomiale. Faisons les présentations :
\(f: x \mapsto a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2 + ... + a_nx^n\) (avec \(n \in \mathbb{N}\) et les coefficients \(a_i\) réels).
C’est une somme de monômes. Elle apparaît aussi comme une combinaison linéaire à coefficients réels \(a_i\) de différentes puissances d’une même variable. L’exposant maximal \(n\) est le degré du polynôme et \(a_0\) est la constante (c’est le coefficient qui multiplie \(x_0,\) donc 1).
Lorsque ce degré est 0, il s’agit d’une fonction constante. Lorsqu’il est égal à 1, c’est une fonction affine. Un produit de \(n\) fonctions linéaires et/ou affines se traduit d’ailleurs par une fonction polynomiale. Si le degré est 2, on parle de fonction quadratique ou trinôme. Ici, nous verrons plus particulièrement les degrés supérieurs à 2.
L'ensemble de définition est l’ensemble des réels (sauf indication contraire liée à une application concrète, évidemment). Sur cet intervalle, la fonction est continue et dérivable.
La formulation ci-dessus est dite « développée » et ordonnée selon les puissances croissantes de \(x.\) Elle est la plus pratique pour déterminer la dérivée. Pour l’étude du signe, on privilégie la forme factorisée. Celle-ci n’existe pas toujours et le signe de la fonction est alors toujours le même. Quant aux limites en plus et moins l’infini elles sont facilement déterminées puisque la fonction se comporte comme son terme du plus haut degré. Les courbes représentatives des fonctions polynomiales admettent des branches paraboliques qui suivent l’axe des ordonnées.
Chacun le sait depuis la classe de première, la dérivée de \(f(x) = axⁿ + …\) est \(f’(x) = anx^{n-1} + …\)
L’intégration ne présente pas de difficulté. Une primitive de \(f(x) = ax^n + …\) est \(F(x) = \frac{a}{n + 1}x^{n + 1 } + ...\)
La dérivée a donc un degré de moins que la fonction dont elle est issue alors que les primitives ont un degré de plus.
La fonction polynomiale étant particulièrement simple à analyser, elle peut servir à approximer une fonction quelconque au voisinage d’un point. Ainsi, la partie régulière d’un développement limité est une fonction polynomiale.
Opérations
Il est très simple de déterminer le signe d’une somme, d’une différence ou d’un produit de deux fonctions polynomiales pour peu qu’elles se présentent sous leur forme développée. Le degré du produit est tout simplement l’addition des deux exposants les plus élevés de chaque polynôme.
Le quotient de deux fonctions polynomiales est une fonction rationnelle.
Pour la factorisation, voir la page sur la factorisation de polynômes.
Exemple d’une étude de fonction
Exemple d'un extrait d'étude de fonction.
Soit la fonction suivante, définie sur \(\mathbb{R}\) :
\(f: x \mapsto \frac{1}{2}x^4 + \frac{7}{3}x^3 - 2x^2 + 1\)
Il s’agit d’une fonction de degré 4 dont les coefficients sont \(\frac{1}{2},\) \(\frac{7}{3},\) \(-2,\) 0 et 1.
Les limites à l’infini sont bien entendu \(+∞\) et il est évident qu’une étude de parité est inutile. Calculons sa dérivée dont l’étude du signe nous permettra d’établir le tableau de variation.
\(f'(x) = 2x^3 + 7x^2 - 4x\)
\(\Leftrightarrow f'(x) = x(2x^2 + 7x - 4)\)
Quel est le signe du trinôme \(2x^2 + 7x - 4\) ? Déterminons ses éventuelles racines. Le discriminant \(\Delta\) est égal à 81. Il est positif et il existe donc deux racines.
\(x_1= \frac{-7 - \sqrt{81}}{4} = -4\) et \(x_2 = \frac{1}{2}\)
On sait que le trinôme est du même signe que le coefficient du carré (en l’occurrence 2, donc positif) à l’extérieur des racines et du signe contraire à l’intérieur. On peut donc établir le tableau de signes de la dérivée suivi du tableau de variation de la fonction :
Ci-dessous, une capture d’écran permet de visualiser la courbe illustrative de la fonction sur GoeGebra (en noir). Pour information, la courbe représentant la dérivée apparaît en bleu.
Utilisations économiques
Certaines suites d’observations peuvent être correctement traduites par une fonction grâce à une régression polynomiale (réalisable avec Excel). On est alors amené à étudier la fonction obtenue. En pratique, il est toutefois rare que le degré du polynôme soit supérieur à 3.
Une fonction polynomiale de degré 3 sert habituellement à modéliser une fonction de coût (voir les pages sur le coût marginal, la marge sur coût variable, l'optimum économique et l'exercice sur fonction de coût).
