Voisinages, boules, ouverts et fermés
La notion mathématique de voisinage est abordée dès le lycée, lors de l'étude des limites. Il s’agit alors de déterminer ce qui se passe soit à l'infini, soit autour de la valeur déterminée d’une fonction à une seule variable. Bref, que du bonheur.
Dans un espace topologique
Un espace topologique est constitué d'éléments nommés ouverts.
Le voisinage d'un point \(X\) de l'espace topologique \(E,\) noté \(V(X)\) (ne pas confondre avec la variance !), est un sous-ensemble de \(E\) qui contient un ouvert qui lui-même contient \(X.\) Un ouvert est donc un voisinage de ses propres points.
Une réunion et une intersection de voisinages de \(X\) sont des voisinages de \(X.\)
Dans un espace métrique
Un espace muni d'une distance est un espace métrique. Le plus habituel est sans doute \(\mathbb{R},\) l'ensemble des réels.
Ainsi, le voisinage d'un réel est un intervalle ouvert qui inclut ce réel (voir la page densité). Comme un intervalle ouvert en inclut un autre qui en inclut un autre, on peut continuer ainsi et raisonner sur un intervalle infiniment petit. On parle aussi de voisinage sur l'infini. Ainsi, une assertion est vraie au voisinage d'un réel s'il existe un intervalle ouvert qui le contient et sur lequel l'assertion est toujours vraie. Idem pour l'infini : une assertion est vraie au voisinage de l'infini s'il existe un réel \(a\) pour lequel l'assertion est vraie entre \(a\) exclu et l'infini.
Sur un voisinage, on cherche notamment à comparer deux fonctions à une variable. L'une peut être dominée par une autre, voire être négligeable devant elle. Les deux fonctions peuvent aussi être équivalentes. Ces notions sont utilisées dans la détermination de limites particulièrement coriaces.
Là où ça se corse, c’est lors de l’étude de fonctions à plusieurs variables représentées dans l’espace ou, d'une manière générale, dans un espace métrique peu habituel...
On utilise alors le terme de boule centrée sur un point. Une boule est dite ouverte si sa sphère est exclue et fermée si l’orange a encore son zeste. Soit dit en passant, on peut s’imaginer une boule en 3D mais à partir de quatre, ça devient ardu !
Du coup, on peut à présent préciser la notion de voisinage d’un point \(A\) dans un espace métrique. C'est un ensemble qui contient une boule ouverte dont le centre est \(A\) (le voisinage lui-même n’étant pas obligatoirement ouvert) et dont le rayon est strictement supérieur à zéro.
Exemples sur l'ensemble des réels : l'intervalle \(]-1\,;3[\) est une boule ouverte de centre 1 et de rayon 2. L'intervalle \([0\,; +\infty[\) est un fermé (ce qui n'était pas évident !) pour la bonne raison que son complémentaire \(]-\infty\, ; 0[\) est un ouvert.
Dans \(\mathbb{R}^2,\) une boule ouverte est un ensemble de points défini par une inéquation de type \((x - a)^2 + (y - b)^2\) \(>\) \(r^2\) (ou \(< r^2\)). Si l'inégalité est large, la boule est fermée.
Représentons sur \(\mathbb{R}^2\) les boules fermées de centre \(O\) et de rayon 1 selon les trois normes.
Norme 1 (valeurs absolues)
On a \(|x| + |y| \leqslant 1\)
Si \(x \geqslant 0\) et \(y \geqslant 0,\) \(x + y - 1 \leqslant 0\)
Si \(x \geqslant 0\) et \(y < 0,\) \(x - y - 1 \leqslant 0\)
Si \(x < 0\) et \(y \geqslant 0,\) \(-x + y - 1 \leqslant 0\)
Si \(x < 0\) et \(y < 0,\) \(-x - y - 1 \leqslant 0\)
La zone cherchée se situe entre les quatre droites \(y = -x + 1,\) \(y = x - 1,\) \(y = x + 1\) et \(y = -x - 1.\)
Drôle de boule… Mais on emploie aussi le terme de pavé, sans doute plus approprié !
Norme 2 (euclidienne)
\(\sqrt{x^2 + y^2} \leqslant 1\)
Donc \(x^2 + y^2 \leqslant 1.\) C’est l’équation d’un disque fermé de rayon 1.
On retrouve cette forme graphique lorsque l'on exécute une ACP sur variables, ces dernières se situant à l'intérieur d'une norme euclidienne de 1 écart-type.
Norme 3 (uniforme)
\(\max (|x|,|y|) \leqslant 1.\) Donc, \(x\) est compris entre -1 et 1, tout comme \(y.\)
Encore une drôle de boule…
