La notion mathématique de voisinage est abordée dès le lycée, lors de l'étude des limites. Il s’agit alors de déterminer ce qui se passe soit à l'infini, soit autour d'une valeur déterminée d’une fonction à une seule variable. Bref, que du bonheur.

Ainsi, le voisinage d'un réel est un intervalle ouvert qui inclut ce réel. Comme un intervalle ouvert en inclut un autre qui en inclut un autre, on peut continuer ainsi et raisonner sur un intervalle infiniment petit. On parle aussi de voisinage sur l'infini. Ainsi, une assertion est vraie au voisinage d'un réel s'il existe un intervalle ouvert qui le contient et sur lequel l'assertion est toujours vraie.

Idem pour l'infini : une assertion est vraie au voisinage de l'infini s'il existe un réel a pour lequel l'assertion est vrai entre a exclu et l'infini.

Sur un voisinage, on cherche notamment à comparer deux fonctions à une seule variable. L'une peut être dominée par une autre, voire être négligeable devant elle. Les deux fonctions peuvent aussi être équivalentes. Ces notions sont utilisées dans la détermination de limites particulièrement coriaces.

Là où ça se corse, c’est lors de l’étude de fonctions à plusieurs variables représentées dans l’espace. On utilise alors le terme de « boule » centrée sur un point. La boule est dite « ouverte » si sa sphère est exclue et fermée si l’orange a encore son zeste.

Du coup, on peut préciser la notion de « voisinage ». Le voisinage d’un point A est un ensemble qui contient une boule ouverte dont le centre est A (le voisinage lui-même n’étant pas obligatoirement ouvert). En l’absence de métrique, on parle de l’« ouvert » d’un espace topologique.

Soit dit en passant, on peut s’imaginer une boule en 3D mais à partir de quatre, ça devient ardu !

Représentons sur R² les boules fermées de centre O et de rayon 1 selon les trois normes.

Norme 1 (valeurs absolues)

On a |x| + |y| ≤ 1

Si x ≥ 0 et y ≥ 0, x + y – 1 ≤ 0
Si x ≥ 0 et y < 0, x – y – 1 ≤ 0
Si x < 0 et y ≥ 0, -x + y – 1 ≤ 0
Si x < 0 et y < 0, -x – y – 1 ≤ 0

La zone cherchée se situe entre les quatre droites y = -x + 1, y = x – 1, y = x + 1 et y = -x – 1.

NB : drôle de boule…

Norme 2 (euclidienne)

Donc x² + y² ≤ 1. C’est l’équation d’un disque fermé de rayon 1.

On retrouve cette forme graphique lorsque l'on exécute une ACP sur variables, ces dernières se situant à l'intérieur d'une norme euclidienne de 1 écart-type.

Norme 3 (uniforme)

Max (|x| , |y|) ≤ 1. Donc, x est compris entre -1 et 1, tout comme y.

NB : encore une drôle de boule…