Notations, propositions et raisonnements
À quoi sert un raisonnement ? À démontrer quelque chose. Et un raisonnement mathématique ? À démontrer quelque chose de mathématique (ça, c’est du raisonnement !). Dans les programmes de lycée (filières générales), un apprentissage leur est consacré mais il ne fait pas l’objet d’un cours spécifique.
Et pourquoi apprendre à raisonner dès le secondaire, alors que le nombre d'élèves qui deviendront mathématiciens est infime ? Pour apprendre la rigueur qui, elle, est indispensable dans de nombreux domaines (y compris en droit alors qu'il n'y a pas de maths dans un cursus de droit). Qu'il est loin le dix-septième siècle où le mathématicien Bonaventura Cavalieri déclarait que « la rigueur, c'est l'affaire des philosophes, non des mathématiciens » !
Notations mathématiques
Sont au programme les symboles \(\in ,\) \(\subset ,\) \(\cup ,\) \(\cap\) (voir les pages appartenance et intervalles), ainsi que le complémentaire d’un ensemble utilisé notamment dans le cadre des probabilités (avec une barre au-dessus).
Connecteurs logiques
Il s’agit de ET et OU. L’intersection de deux ensembles \(A\) et \(B\) est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B.\) Noté \(A \cap B\) (se lit "inter").
Le OU est plus délicat à appréhender. Dans le langage courant, il est souvent exclusif (fromage OU dessert). En maths, il est inclusif. La réunion de deux ensembles \(A\) et \(B\) se note \(\cup.\) Si des éléments appartiennent à \(A\) ou à \(B,\) \(A \cup B\) comprend les éléments qui appartiennent aux deux ensembles, y compris à leur intersection. Soit par exemple dans une école l’ensemble \(A\) des filles et l’ensemble \(B\) des élèves qui savent nager, alors \(A \cup B\) comprend toutes les filles, Y COMPRIS celles qui savent nager, ainsi que certains garçons (seulement ceux qui savent nager).
Propositions et assertions
(Hors programmes du secondaire)
En maths, une proposition est un énoncé que l’on pourra soit démontrer soit réfuter tandis qu’une assertion est une proposition présentée comme vraie (mais que l’on peut être amené à vérifier) ou éventuellement présentée comme fausse. Une assertion qui n’est pas démontrée est une conjecture ou une hypothèse. En langage courant, une personne assertive est quelqu’un qui s’affirme tandis qu’une proposition n’est pas sûre d’être retenue (attention, le terme proposition peut aussi signifier assertion vraie, de portée intermédiaire entre le lemme et le théorème).
Conjecture
Une conjecture est une assertion non démontrée, mais sur laquelle on porte de sérieux soupçons.
Dans l'étude des suites, le procédé est fréquent. Une représentation graphique ou une propriété algébrique nous laisse supposer quelque chose, par exemple une limite, mais nous n'avons pas d'autre preuve que notre intime conviction. On part alors de notre hypothèse puis on la démontre grâce à un raisonnement par récurrence.
Quantificateurs
Les propositions utilisent des quantificateurs : « pour tout », « quel que soit » ou « il existe ». Ils permettent d’établir des assertions et des propositions. Les deux premiers sont équivalents et sont notés par le même symbole mathématique \(\forall \) qui est le quantificateur universel (ils énoncent une propriété universelle). L’autre quantificateur, dit existentiel, s’écrit \(\exists.\) Ces notations ne sont plus exigibles au lycée, ce qui est fort dommage tant elles sont pratiques ! Voir la page sur la logique.
Lorsqu’une proposition est rédigée en français (et non en langage mathématique), les quantificateurs sont parfois implicites. Exemple : « tout réel élevé au carré est positif ou nul » peut être réécrit « quel que soit \(x\) appartenant à l’ensemble des réels, \(x^2 \geqslant 0\) » ou « pour tout \(x\) appartenant à \(\mathbb{R},\) il existe \(x^2 \geqslant 0\) ».
Proposition conditionnelle, réciproque, contraposée, négation
Une proposition conditionnelle ou implication est de type « si \(A,\) alors \(B\) » et s’écrit \(A \Rightarrow B.\) \(A\) est une condition nécessaire. Elle n’est pas toujours suffisante et inversement. « \(ABCD\) est un rectangle » est une condition suffisante pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme mais elle n’est pas nécessaire. En revanche, il est nécessaire que \(ABCD\) soit un parallélogramme pour qu’il soit un rectangle mais ce n’est pas suffisant. De même, il est nécessaire de connaître les différents types de raisonnements pour être prof de maths, mais ce n'est pas suffisant !
Lorsqu’on part d’une propriété générale pour démontrer une propriété particulière, le raisonnement est déductif.
Soit la propriété suivante : « si un triangle est un triangle rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal a somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ». Vous avez reconnu ce cher théorème de Pythagore.
La propriété réciproque inverse la conclusion et l’hypothèse : « si le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle ».
Une propriété vraie n’implique pas que sa réciproque le soit mais lorsque c’est le cas, on parle d’équivalence, qui se traduit par « si et seulement si », ou de condition nécessaire et suffisante.
La contraposée d’une proposition inverse l’implication : « \(A\) entraîne \(B\) » devient « non \(B\) entraîne non \(A\) ». Il y a équivalence avec la propriété directe (de départ). Exemple : « si le carré de la longueur de l’hypoténuse n’est pas égale à la somme des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle ». Voir un exemple en page de théorème du toit.
La réciproque a aussi sa contraposée.
Le raisonnement par contraposition consiste à démontrer la contraposée et, du même coup, la proposition initiale. Il faut une certaine expérience pour choisir judicieusement celle vers laquelle il faut s’engager.
Par exemple, pour montrer que \(\forall n \in \mathbb{N},\) \(n^2\) impair \(\Rightarrow\) \(n\) impair, il est plus commode de démontrer \(n\) pair \(\Rightarrow\) \(n^2\) pair.
Négation d’une proposition : la proposition n’est pas vérifiée. Il ne faut pas se contenter de mettre la proposition à la forme négative, il faut aussi changer le quantificateur. Par exemple, la négation de « tous les éléments appartiennent à l’ensemble \(A\) » n’est pas « aucun élément n’appartient à \(A\) » mais « il existe un ou plusieurs éléments qui n’appartiennent pas à \(A\) ».
La démonstration par contre-exemple
Pour démontrer qu’une proposition est fausse, il suffit de montrer qu’il existe un cas pour lequel elle ne s’applique pas.
Le raisonnement par l’absurde
Ce type de raisonnement a été employé la première fois par Euclide pour démontrer qu'il existe une infinité de nombes premiers.
Il faut émettre comme hypothèse le contraire du résultat attendu. Si le raisonnement permet d’arriver à au moins un résultat faux, on en déduit que la proposition contraire est fausse et donc que la propriété de départ est vérifiée.
Exemple de raisonnement par l'absurde en page d'irrationnels.
Le raisonnement par disjonction des cas
Lorsqu’une démonstration diffère selon des situations, on la décompose en sous-cas. Voir l’exercice de la page sens de variation, celle sur les intersection et réunion d'évènements ou encore les équations du second degré. Niveau terminale : voir le vecteur normal à un plan.
Le raisonnement par équivalence (ou par analogie)
Mentionné pour mémoire. C’est un raisonnement moins utilisé que le déductif et qui ne figure pas dans les programmes de lycée.
Le raisonnement inductif
Contrairement au déductif, il part du particulier pour démontrer une propriété générale.
Le raisonnement par récurrence procède de cette manière. Les études statistiques également puisqu'elles visent à induire à une population des observations réalisées sur un échantillon grâce à des estimateurs (voir les tests).
