Notions d'inclusion et d'appartenance
Deux notions mathématiques majeures, indissociables du concept d’ensemble. Aujourd’hui, elles sont enseignées en classe de seconde, généralement en tout début d’année. Le contenu de cette page se situe d’ailleurs à ce niveau d’étude. Alors si vous appartenez à l’ensemble des internautes de seconde avides de savoir, lisez ce qui suit…
Appartenance
Un ensemble non vide comprend des éléments. Soit \(a\) l’un d’eux. Si \(a\) est un élément d’un ensemble \(A,\) on dit que \(a\) appartient à \(A.\) On le note \(a \in A.\)
Remarquez que l’élément est écrit en lettre minuscule et l’ensemble en lettre majuscule. C’est la convention habituelle.
Si \(a\) n’appartient pas à \(A,\) on le note \(a \notin A.\)
Pour prendre un exemple concret, la ville d'Aarschot est un élément qui appartient à l’ensemble des communes belges.
On travaille souvent sur tout ou partie d’un ensemble numérique (entiers naturels, relatifs, décimaux…). Cf. exercices en fin de page.
Inclusion
L’inclusion définit la situation où un ensemble fait partie d’un autre ensemble (le premier est donc un sous-ensemble).
Quand un ensemble \(A\) fait partie d’un ensemble \(B,\) c’est-à-dire que tous les éléments de \(A\) appartiennent aussi à \(B,\) on dit que \(A\) est inclus dans \(B.\) On le note \(A \subset B.\)
Si \(A\) n’est pas inclus dans \(B,\) on le note \(A \not\subset B.\)
S’il existe ne serait-ce qu’un seul élément d’un ensemble \(A\) qui n’appartienne pas à \(B\) alors \(A\) n’est pas inclus dans \(B.\)
Prenons un autre exemple. Soit l’ensemble des vaches (peu importe que les éléments soient des races de vaches ou des têtes de bétail considérées individuellement). Cet ensemble est inclus dans l’ensemble des mammifères qui est lui-même inclus dans l’ensemble des animaux.
On peut schématiser cette relation d’inclusion avec des diagrammes :
Les ensembles numériques sont eux aussi reliés par une relation d’inclusion.
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Graphiquement, un point appartient à une droite mais un segment est inclus dans la droite.
Précisons que le symbole d’inclusion n’a pas toujours cette signification en-dehors de la France.
Exercice
Remplacer les pointillés par l’un des quatre symboles présentés ci-dessus.
1- \(-\sqrt{144}\;...\;\mathbb{Z}\)
2- \([2\,;10]\;...\;\mathbb{R}\)
3- \(\mathbb{R}\;...\;\mathbb{Q}\)
4- \(\{1\}\;...\;\mathbb{N}\)
5- \(0\;...\;\mathbb{R}^*\)
Corrigé
1 - \(\in\) car \(-\sqrt{144} = -12.\)
2 - \(\subset\) car un intervalle est un ensemble.
3 - \(\not\subset\) car c'est l'ensemble des rationnels qui est inclus dans celui des réels, pas l'inverse !
4 - \(\subset\) car les accolades définissent un ensemble.
5 - \(\notin\) car 0 est un élément et l'ensemble des réels est ici privé de 0.
