Ensembles de nombres
En principe, les ensembles de nombres font l’objet d’une présentation en début d'année de seconde. Il s’agit de notions de base dont la connaissance doit être acquise par les lycéens. Les exercices de maths s'inscrivent très souvent dans certains ensembles et très rarement dans d'autres. Sur cette page sont présentés les cinq ensembles numériques qui sont au programme de seconde (un sixième ensemble, celui des complexes, est quant à lui abordé dans les filières scientifiques). D'autres ne font leur apparition que bien plus tard dans les études...
Notez qu'un ensemble est une somme d'éléments, en l'occurrence des nombres. Ce terme passe sous silence les relations qui existent entre eux (et qui font toute la richesse des maths).
Les entiers naturels
Positif ou nul, un entier naturel permet de compter ce qui est dénombrable. \(N = \{0\,;1\,;2\,;3…\}\). L’ensemble s’écrit \(\mathbb{N}.\)
Souvent utilisé, il est facile à appréhender.
L’étude de ces nombres et de leurs relations se nomme l’arithmétique.
Certains entiers sont appelés nombres premiers. Ils ne se divisent que par eux-mêmes et par 1, du moins si l’on reste dans l’ensemble des entiers. Il en existe une infinité et, de nos jours, on en découvre encore de nouveaux. Les premiers de la liste sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…
L’ensemble des entiers naturels excluant zéro s’écrit avec un astérisque en exposant : \(\mathbb{N}^*\) (remarque également valable pour les autres ensembles présentés ci-dessous).
Les entiers relatifs
Il s’agit des entiers naturels et de leurs opposés (donc des entiers négatifs). L’ensemble se note \(\mathbb{Z}.\)
Au lycée, on ne travaille pas souvent cet ensemble mais on s'y réfère en trigonométrie. Par exemple, -4, -1, 0, 5 sont des nombres relatifs (ils sont abordés au collège mais on ne parle pas d'ensemble \(\mathbb{Z}\) à ce moment-là).
Les nombres négatifs ont longtemps été rejetés par les mathématiciens. Utilisés au septième siècle par l'Indien Brahmagupta, ils ont ensuite attendu mille ans pour s'imposer en Europe !
Les nombres décimaux
Les décimaux peuvent s'écrire sous forme d'un quotient entre un relatif et une puissance de 10.
Ils ont donc un nombre fini de décimales. Si par exemple on divise 10 par 3, on n’obtient pas un nombre décimal puisqu’il y a une infinité de 3 après la virgule.
L’ensemble des décimaux se note \(\mathbb{D}.\)
Mathématiquement, cet ensemble a peu d'intérêt.
Les nombres rationnels
Ceux-ci doivent exister sous la forme d'une fraction d’entiers relatifs : un numérateur divisé par un dénominateur non nul, soit a / b (écriture fractionnaire). On peut aussi les écrire avec une virgule (écriture décimale) mais certains seront des décimaux tandis que d’autres auront une infinité de chiffres après la virgule (avec une périodicité).
Exemples de décimaux : \(\frac{1}{2} = 0,5,\) \(\frac{1}{4} = 0,25\) ou encore \(\frac{3}{4} = 0,75.\)
Dans l'autre cas, la valeur exacte est écrite sous forme fractionnaire (ou éventuellement avec un point de suspension après quelques décimales) tandis que la valeur approchée comporte un nombre limité de décimales.
Par exemple, \(\frac{1}{3} = 0,3333...\) ou encore \(\frac{2}{3} = 0,6666...\) Attention à la règle d'arrondi : si la précision demandée est au millième, on indique 0,667.
Comme les entiers et les décimaux, les rationnels font partie de notre vie quotidienne : trois quarts d'heure, un demi-litre d'eau, un gâteau découpé en huit parts égales...
On note leur ensemble \(\mathbb{Q}.\)
Lui aussi est peu rencontré en tant qu’ensemble, bien que l'on utilise très souvent des fractions, présentées presque toujours sous forme irréductible (une fraction est réductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux).
Comme pour les décimales, il faut se méfier des faux-amis. Ce n’est pas parce qu’un nombre est présenté sous forme de fraction qu’il est rationnel. Exemple : la racine carrée de 2 divisée par 3 n’est pas un rationnel.
Profitons-en pour réviser quelques règles algébriques de base sur les fractions qui ont été vues au collège (et qui ne s’appliquent donc pas qu’à des rationnels !) :
Addition : \(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)
Multiplication : \(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)
Et attention à la division...
\[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\]
S’il faut additionner deux fractions dont les dénominateurs sont différents, on doit les réduire au même dénominateur :
\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{(a \times d) + (c \times b)}{b \times d}\)
Pour plus de détails, voir la page sur les rationnels. Pour passer de l'écriture décimale à l'écriture fractionnelle, voir la page écriture décimale des rationnels.
Les réels
C’est sur cet ensemble que l’on travaille le plus souvent en mathématiques. Il s’agit de tous les nombres qui existent, même s’ils ne peuvent pas toujours être écrits seulement avec des chiffres. Un réel qui n'est pas rationnel est irrationnel (par exemple \(\pi\)).
L’ensemble des réels se note \(\mathbb{R}.\)
L'ensemble des réels privé de zéro se note \(\mathbb{R}^*.\)
Les ensembles des réels négatifs et positifs sont respectivement \(\mathbb{R}_-\) et \(\mathbb{R}_+\)
\(\mathbb{R}\) est un ensemble indénombrable. Un sous-ensemble de réels qui se suivent est un intervalle (qui s'écrit entre crochets, contrairement aux ensembles d'éléments dénombrables qui sont notés avec des accolades).
Notez que si cet ensemble est le plus employé en théorie, il ne peut l'être en pratique puisqu'un ordinateur ne peut pas calculer avec une infinité de décimales.
Vous en saurez bien davantage en page de réels.
Note : vous êtes en seconde et vous estimez avoir tout compris? Testez-vous en page d'exercices sur les ensembles !
Relation d'inclusion
L’inclusion définit l'état d'un sous-ensemble qui fait partie d’un ensemble. On peut d’ailleurs relier les ensembles numériques par une relation d’inclusion.
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Par exemple, du moment que l'on sait que -1 est un entier relatif, on sait qu'il est aussi un décimal, un rationnel et un réel.
