De l'écriture décimale à la fraction
Les nombres rationnels sont étranges. Même dans un intervalle fini, il en existe une infinité. Jusque-là, rien de bizarre. L’infinité du nombre de rationnels est différente de l’infinité des réels (comme l’a démontré Georg Cantor). C’est déjà plus étonnant mais ce n’est pas le sujet de cette page. Le fait que l’ensemble des rationnels soit dénombrable entraîne des conséquences inattendues. Par exemple, si une droite dans un plan normé est définie sur l’ensemble des rationnels, elle est pleine de trous ! Si elle croise une autre droite à l’abscisse \(\pi\) (nombre irrationnel), on ne peut pas dire qu’elles sont sécantes. Enfin, il n'est pas toujours possible d'écrire ces nombres de façon exacte avec des décimales vu qu’il existe souvent une infinité de chiffres après la virgule.
Les rationnels
Malgré ces particularités déroutantes, certains nombres rationnels sont connus depuis plusieurs millénaires. Pendant longtemps, les Grecs, ont cru que tous les nombres étaient rationnels. Ceci impliquait une sorte de perfection du monde. Une anecdote probablement légendaire veut que mathématicien Hippase fut noyé par les pythagoriciens pour avoir démontré que la racine carrée de 2 n’était pas rationnelle.
Habituellement, un nombre rationnel non entier est présenté sous forme de fraction. Ensuite, par division, on obtient sa forme décimale. Rappelons que celle-ci est toujours périodique, c’est-à-dire qu’une même série de chiffres revient toujours, du moins si le nombre de décimales est infini. S’il est fini, on peut le compléter avec une infinité de zéros, ce qui ne change rien à sa valeur mais on s’aperçoit qu’il peut être considéré comme ayant une suite infinie de périodes d’un zéro !
Ici, nous procéderons à l’exercice inverse. Nous partirons d’une écriture décimale d’un rationnel pour déterminer sa forme fractionnaire.
Sans « véritable » périodicité
Si le nombre de décimales est fini, il suffit de multiplier ce nombre par une puissance de 10 afin d'obtenir un entier au numérateur. Le dénominateur est cette même puissance de 10. Le seul véritable travail consiste ensuite à simplifier la fraction !
Exemple : \(4,0275\) \(= \frac{40\,275}{10\,000}\) \(=\frac{1611}{400}\)
En effet, il suffit d'être un peu habitué aux calculs pour s’apercevoir immédiatement de la simplification par 25.
Avec périodicité
Le processus est moins immédiat.
La première étape consiste à faire apparaître la période juste après la virgule. Si par exemple \(x = 7,8513513513…\) La période est 513. Il faut multiplier \(x\) par 10 pour que cette période apparaisse juste après la virgule.
\(10x = 78,513513513…\)
Nous réutiliserons bientôt cette égalité.
Ensuite, multiplions à nouveau ce nombre par une puissance de 10 pour faire apparaître une période AVANT la virgule. Ici, elle est de trois chiffres. Donc, on multiplie par 1 000.
\(1000 × 10x = 78\,513,513513…\)
Comme il y a une infinité de chiffres identiques après la virgule, on peut soustraire membre à membre ces deux équations. Nous n’aurons plus que des entiers.
\(10\,000x - 10x = 78\,513 - 78\)
\(⇔ 9\,990x = 78\,435\)
On obtient donc une fraction que nous simplifions pour la rendre irréductible.
\(7,8513513... = \frac{78\,435}{9\,990} = \frac{581}{74}\)
Mais parfois, la période est trop longue pour être détectée sur un écran d’ordinateur...
Exercice
Soit le nombre 0,1408227848101265822784810126582…
Vérifier qu’il s’agit d’un nombre rationnel et l’exprimer sous forme de fraction.
Corrigé
Pour ce corrigé nous travaillerons pas à pas avec la calculatrice de Windows. Lorsque la technique aura montré ses limites, nous utiliserons un programme en ligne.
On relève la période 8227848101265. Il s'agit bien d'un rationnel.
Multiplions ce nombre par 1 000.
\(1000x\) \(= 140,8227848101265822784810126582…\) (équation 1)
La période comporte 13 chiffres. Il faut donc le multiplier par \(10^{13}.\)
\(1000x \times 10^{13} = 1\,408\,227\,848\,101\,265,8227848101265…\) (équation 2)
Soustrayons membre à membre (2) – (1)
\(9\,999\,999\,999\,999\,000x\) \(= 1\,408\,227\,848\,101\,125\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{1\,408\,227\,848\,101\,125}{9\,999\,999\,999\,999\,000}\)
Simplifions. Numérateur et dénominateur sont divisibles par 5. La somme des chiffres du numérateur est égale à 54 donc ce nombre est divisible par 3. Il est évident que le dénominateur aussi. Une simplification par 15 donne…
\(x = \frac{93\,881\,856\,540\,075}{666\,666\,666\,666\,600}\)
La somme des chiffres du numérateur vaut 69 et les deux nombres sont multiples de 5. Simplifions à nouveau par 15.
\(x = \frac{6\,258\,790\,436\,005}{44\,444\,444\,444\,440}\)
La division par 5 reste possible mais pas par 3.
\(x = \frac{1\,251\,758\,087\,201}{8\,888\,888\,888\,888}\)
Il faut alors essayer les nombres premiers suivants. Le plus petit que nous pouvons retenir est 53. Nous simplifions donc par 53.
\(x = \frac{23\,618\,077\,117}{167\,714\,884\,696}\)
Le nombre premier suivant est… 265 371 653. On obtient pour terminer \(x = \frac{89}{632}.\)
Lorsqu’une simplification fait intervenir des nombres premiers trop élevés pour terminer le calcul à la main, on utilise bien sûr un logiciel ! Le nombre à neuf chiffres qui apparaît ci-dessus a pu être trouvé grâce à ce site :
https://www.dcode.fr/decomposition-nombres-premiers
