Afin que chacun s’y retrouve, j’ai opté pour une présentation originale : sur une même page, voici la chronologie de ce qu’on peut apprendre sur les racines.

Les années collège

Qu’est-ce qu’une racine carrée ?

La racine carrée d’un nombre positif ou nul x est le nombre dont le carré est x. Ce peut être un entier (x est alors un carré PARFAIT), avoir un nombre fini de décimales ou un nombre infini. Dans ce cas, on chapeaute notre x du symbole « radical » pour l’écrire.

On en conclut que :

Si l’on peut décomposer la valeur qui se trouve sous le radical, il est d’usage de n’y laisser aucun carré. Ainsi :

Les propriétés à connaître sont (pour a et b positifs) :

On apprend un peu plus tard que ces propriétés s'étendent aux racines énièmes.

Certains manuels de troisième introduisent déjà la notion de moyenne géométrique de x et y comme racine du produit de ces deux valeurs. Un aperçu de la racine cubique est donné à titre informatif. Les nombres présentant des racines sous des racines sont dits « à racines imbriquées ». Exemple :

Par ailleurs, des utilisations simples en géométrie sont introduites en classe de troisième.

Les années lycée

Les règles de calcul apprises en seconde conduisent surtout à recourir aux quantités conjuguées, notamment pour « nettoyer » toute expression d’un fâcheux radical au dénominateur.

La manipulation algébrique des puissances met en évidence que sous la racine carrée se cache la puissance ½, que la racine cubique n’est autre que la puissance ⅓ et ainsi de suite. La racine énième de zéro est toujours nulle et celle de 1 est égale à 1.

Le lycée est aussi le théâtre d’une rencontre inoubliable avec les fonctions numériques. La fonction racine carrée est positive, croissante et continue sur son ensemble de définition. Elle n’est pas dérivable en zéro mais le devient pour toute valeur positive. Sa limite à l’infini est bien sûr « plus l’infini ». Les règles de dérivation sont :

Ci-dessous, la courbe représentative de la fonction racine carrée apparaît en bleu alors que celle de la racine cubique est habillée de rouge (réalisation sur GeoGebra).

Racine carrée déterminée par une suite : l’algorithme de Héron d’Alexandrie permet de déterminer une racine avec une précision redoutable en un nombre d’itérations assez faible (vérifiez-le sur tableur, vous en aurez pour une minute…). Si l’on cherche la racine de x, on choisit n’importe quel nombre pour initier la suite puisqu’elle converge :

À ne pas confondre avec la suite "racine carrée" (voir page limites de suites).

Liens avec logarithmes et fonction exponentielle : une racine carrée vérifie l’identité suivante :

Les années d’études supérieures

Survolons à présent la détermination des racines énièmes d’un nombre complexe. Il en existe n.

Un nombre complexe possède donc deux racines carrées. Dans C, celles de 1 sont tout simplement  -1 et 1.

Par la suite, je nommerai r la puissance énième du module ρ et alpha la puissance énième de l’argument θ.

Les formes exponentielles des racines carrées sont :

Les n racines énièmes admises par un nombre complexe Z = re^iα s’écrivent sous la forme :

Enfin, les études supérieures permettent de découvrir des applications pratiques dans lesquelles interviennent les racines carrées (voir par exemple le modèle de Wilson).