La dérivation de fonctions racines carrées

Exercices de dérivation de fonctions racines

Sur ce site vous sont proposés de très nombreux exercices de dérivation. Et sur cette page en particulier, vous aurez tout loisir de vous entraîner sur des fonctions d'expression racine carrée. Le niveau de difficulté est celui de la terminale S.

 

Rappels

Soit la fonction \(f\) définie de la façon suivante, pour \(u\) positive : \(f(x) = \sqrt{u(x)}\)

Soit \(f’\) la fonction dérivée de \(f.\) Son expression est la suivante :

\[f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}\]

Muni de ce bagage scientifique, vous voici armé pour affronter les pièges les plus sournois de la dérivation.

 

Exercice 1

Donner l’ensemble de définition de la fonction suivante et déterminer sa dérivée.

\(f:x \mapsto \sqrt{x^2 + 4x + 99}\)

 

Exercice 2

Dériver la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) par \(f(x) = x \sqrt{x}.\) :

 

Exercice 3

Dériver la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) par \(g(x) = \frac{x}{x^2 + \sqrt{x}}\) :

 

Corrigé 1

\(f\) est définie si le polynôme \(x^2 + 4x + 99\) est positif. Calculons le discriminant \(\Delta.\)

Le discriminant d’un trinôme \(ax^2 + bx + c\) s’obtient par la formule bien connue \(b^2 - 4ac.\)

\(\Delta\) \(= 4^2 - 4 \times 1 \times 99\) \(= -380.\)

Il est négatif. Le signe du polynôme est donc celui \(a\) (en l’occurrence celui de 1, c’est-à-dire positif).

Nous en déduisons que l’ensemble de définition est \(\mathbb{R}.\) L'ensemble de dérivabilité est également \(\mathbb{R}.\)

La dérivée du trinôme est de la forme \(2ax + b.\) Il s’ensuit…

\(f'(x) = \frac{2x + 4}{2 \sqrt{x^2 + 4x + 99}}\)

\(\Leftrightarrow f'(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 99}}\)

 

Corrigé 2

\(f\) est une fonction produit. Rappelons que \((u(x)v(x))’\) \(= u’(x)v(x) + u(x)v’(x)\)

Aucune difficulté pour la dériver.

\(f'(x) = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}}\)

L’expression peut être simplifiée.

\(f'(x)\) \(= \frac{2\sqrt{x} \times \sqrt{x} + x}{2 \sqrt{x}}\) \(= \frac{3x}{2\sqrt{x}}\)

On peut préférer cette autre expression :

\(f'(x)\) \(= \frac{3x}{2 \sqrt{x}}\) \(=\frac{3x\sqrt{x}}{2\sqrt{x} \times \sqrt{x}}\) \(= \frac{3\sqrt{x}}{2}\)

 

Corrigé 3

\(g\) est une fonction composée de type \(\frac{u(x)}{v(x)}.\)

\[u(x) = x\] \[u'(x) = 1\] \[v(x) = x^2 + \sqrt{x}\] \[v'(x) = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Rappelons la formule de dérivation.

Si \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) alors \(f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}\)

Par conséquent…

\[g'(x) = \frac{x^2 + \sqrt{x} - x\left(2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(x^2 + \sqrt{x})^2}\]

Développons le numérateur.

\[g'(x) = \frac{x^2 + \sqrt{x} - 2x^2 - \frac{x}{2 \sqrt{x}}}{(x^2 + \sqrt{x})^2}\]

\[\Leftrightarrow g'(x) = \frac{-x^2 + \sqrt{x} - \frac{\sqrt{x}}{2}}{(x^2 + \sqrt{x})^2}\]

\[\Leftrightarrow g'(x) = \frac{-x^2 + \frac{\sqrt{x}}{2}}{(x^2 + \sqrt{x})^2}\]

On a le choix de présenter plusieurs expressions de \(g’.\) Une autre, plus synthétique, est \(g'(x) = \frac{-2x^2 + \sqrt{x}}{2(x^2 + \sqrt{x})^2}.\)