Fonctions composées et idempotence
Avertissement : si vous êtes en classe de terminale, cette page sera en grande partie hors programme et il vaut mieux vous diriger vers les pages sur les composition des limites et la dérivée de \(g(x) = f(ax + b)\).
Présentation
Les fonctions \(f\) et \(g\) ont la joie de vous faire part de la naissance de \(h.\)
Soit \(g\) et \(f\) deux applications. On appelle fonction composée de \(f\) suivie de \(g\) la fonction \(h\) telle que \(h(x)\) \(= \) \((g \circ f)(x)\) \(=\) \(g(f(x)).\)
On lit « g rond f ».
Propriétés
La composition est associative mais ni commutative \((g \circ f \ne f \circ g)\) ni distributive, à moins de tomber sur l’oiseau rare.
Exemple : si \(f(x) = 2x + 3\) et \(g(x) = x^2,\) alors \((f \circ g)(x)\) \(=\) \(2x^2 + 3\) et \((g \circ f)(x)\) \(=\) \((2x + 3)^2.\) Pour faire court, il suffit de remplacer le \(x\) de la première par l’expression de la deuxième et de déterminer l'ensemble de définition.
Ce dernier point est crucial. Il est tout à fait possible que \(f \circ g\) existe mais pas \(g \circ f.\) Si \(f\) est l’application de \(\mathbb{R}_+^*\) dans \(\mathbb{R}\) avec \(f(x) = \ln(x)\) et \(g(x) = -x,\) la composition \((g \circ f)(x)\) \(= -\ln x\) ne pose pas de problème, contrairement à \((f \circ g)(x)\) \(= \ln (-x)\) qui n’est définie que pour \(\mathbb{R}_-^*.\)
La composition est associative : \(f \circ (g \circ h)\) \(= (f \circ g) \circ h.\) Une composée d'injections est injective, une composée de surjections est surjective et, bravo parce que vous l'aviez deviné, une composée de bijections est bijective.
Si des fonctions sont continues en un point, leur composée y est également continue.
Le sens de variation est simple à déterminer. Si \(f\) et \(g\) sont toutes deux croissantes ou décroissantes, \(h\) est croissante. Si elles ont des sens de variation différents, \(h\) est décroissante. Prenons l’exemple de la fonction inverse sur \(\mathbb{R}_+^*\) qui est décroissante et de la fonction logarithme qui est croissante. Que l’on compose ces fonctions d’une façon ou d’une autre, c’est-à-dire soit \(h(x) = \frac{1}{\ln x}\) avec \(x \ne 1\) soit \(l(x) = \ln \frac{1}{x},\) on obtient une fonction décroissante. La preuve en image (avec la courbe représentative de \(h\) en rouge et celle de \(l\) en bleu) :
Notez bien qu’une fonction peut se composer avec elle-même. On parle alors de puissance fonctionnelle et il est alors commode d’opter pour une autre notation, avec un exposant. Par exemple, \(f \circ f \circ f\) s’écrit aussi \(f^3.\)
Mais qu’on ne confonde pas la fonction réciproque avec une puissance fonctionnelle… Tiens, justement, la réciproque d’une composée : \((g \circ f)^{-1}\) \(= f^{-1}\circ g^{-1}.\)
Évoquons à présent le calcul des limites. Le théorème est le suivant :
Si \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = b\) et si \(\mathop {\lim }\limits_{X \to b} g(X) = c,\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (g \circ f)(x) = c.\)
Ce théorème trouve sa traduction dans les formules d'opérations sur les limites.
Si par exemple \(g\) est la fonction inverse et \(f\) est la fonction carrée, il est bien sûr que \(g \circ f,\) c’est-à-dire \(\frac{1}{x^2},\) tend vers zéro lorsque \(x\) tend vers plus l’infini. Mais bon, on peut aussi dire que la limite à l’infini de \(g\) est égale à zéro, que la limite en zéro de la fonction carré est aussi égale à zéro et donc que la limite à l’infini de la fonction composée est zéro. Si vous suivez tout ça sur la formule du théorème, vous avez compris que \(a\) est \(+\infty\) et que \(b\) et \(c\) sont égaux à zéro.
Quant à la dérivée d’une fonction composée, elle se calcule ainsi : \((f \circ u)’(x)\) \(=\) \(f’(u(x)) × u’(x).\)
Au lycée, on apprend souvent par cœur les formules de dérivées sans faire explicitement référence à cette identité commune à toutes les fonctions composées (qui conduit à des calculs laborieux).
Idempotence
Si \(f \circ f = f,\) l'application mérite le qualificatif d'idempotente. La multiplication par 1 et l'addition d'un zéro sont idempotentes.
Exercice 1
La courbe représentative de \(g\) est la noire, celle de \(f\) est la rouge (réalisation sur Geogebra). Déterminez graphiquement l’image de 2 par \(f \circ g.\)
Solution : on remarque que l’image de 2 par \(f\) est 4. Il suffit alors de chercher l’image de 4 par \(g\) (point \(A\)). On trouve 1,4 environ.
Vérification : la courbe bleue est celle de \(f \circ g.\) Nous constatons que \((f \circ g)(2)\) avoisine 1,4.
Exercice 2
En nous promenant dans une bibliothèque, nous avons trouvé par hasard deux tableaux de variations qui traînaient.
Quel est le domaine de définition \(D\) de \(h = g \circ f\) ?
Réponse : \(D = ]-\infty \,; 2[\) \(\cup ]4\,; +\infty[.\) En effet, \(g(x)\) n’existe que si \(x > 0.\) Donc \(h\) n’est définie que là où \(f\) est strictement positive, ce qui est le cas partout sauf entre 2 et 4.
