Au dix-septième siècle, des scientifiques et des aventuriers européens  s'ingénièrent à découvrir et à inventer bon nombre de choses qui allaient modifier la vie quotidienne de la plupart des Terriens, souvent indirectement et à plus ou moins longue échéance, depuis le microscope jusqu'au cap Horn en passant par la machine à calculer et la dérivation.

La dérivation, justement. Comment trouver la meilleure approximation affine d’une fonction au voisinage d’un réel ? Réponse : en se rendant sur la page dérivée en un point et en appliquant les recettes qui y sont prodiguées. Oui mais voilà, la technique employée n’est pas des plus pratiques et il est souvent plus simple de dériver la fonction en entier puis de remplacer la variable x par le réel qui nous intéresse, sous réserve de réserver nos calculs au domaine de définition et de dérivabilité.

Certes, on a pu établir un certain nombre de dérivées « usuelles », c’est-à-dire de référence. Mais généralement, ce ne sont pas celles-ci qu’il faut dériver mais des composées de celles-ci…

Par quelle technique ? Soit on se sert de la formule générale de dérivée de fonction composée, soit on utilise directement les formules reprises ci-dessous et qui correspondent chacune à une structure algébrique différente de fonction à dériver.

Dérivée d’une fonction composée

Soit h et g deux fonctions numériques telles que f = g o u sur un intervalle de dérivabilité.

Nous avons :

Formules pour les fonctions dérivables

Ci-dessous, les lettres u et v remplacent des expressions numériques. Il faudrait en toute rigueur les écrire u(x) et v(x) mais comme les formules restent valides même si u et v sont des constantes indépendantes de x, inutile de crier au crime de lèse-mathématiques. Les lettres a et b représentent des réels.

Pour retrouver ces formules, on part du tableau des fonctions usuelles et on remplace x par u et v qu’on multiplie par u’ et v’. Comme l’exercice n’est pas très difficile, je n’ai pas indiqué TOUTES les formes de fonctions (hyperboliques, trigonométriques réciproques…).

Des primitives peuvent être trouvées en lisant les tableaux de droite à gauche.

NB : voir les pages consacrées à ces fonctions pour les conditions de dérivabilité. La version u / v la plus simple est présentée en page fonction homographique.

Les fonctions avec logarithmes et exponentielles présentent les dérivées suivantes (la première, c'est-à-dire la dérivée logarithmique, est particulièrement utilisée en économie) :

Voir aussi la page exercices avec logarithmes et exponentielles.

Les fonctions trigonométriques :

Voir des exemples en page dérivées de fonctions trigonométriques.

Enfin, la formule de dérivée d’une fonction réciproque :

Ces structures de « base » ne sont pas spécialement difficiles à appliquer. Toutefois, il n’est pas rare que plusieurs structures s’imbriquent (voir page étude de fonction).

Exercice 1

Retrouver la dérivée de fonction tangente en utilisant sa définition.

On a tan x = sin x / cos x. Donc, la fonction tangente s’écrit sous une forme u / v.

Soit u = sin x, u’ = cos x, v = cos x et v’ = -sin x

On applique la formule (u’v – v’u) / v², donc :

Reste à simplifier cette expression peu pratique. Comme cos² x + sin² x = 1, on a :

Il est aussi possible de sérarer la fraction en deux puis de simplifier :

Bien sûr, la fonction tangente n'est dérivable que là où cos² x est différent de zéro, c'est-à-dire R privé de π / 2 + kπ...

Exercice 2

Dériver f(x) = (2x – 3)³

La fonction s’écrit sous la forme uⁿ et sa dérivée est u’nu^(n-1)

Donc f’(x) = 6(2x – 3)².